Номер 1.254, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.254. Используя свойство периодичности функции $f(x) = \operatorname{tg} x$, найдите:

а) $\operatorname{tg} \frac{13\pi}{6}$;

б) $\operatorname{tg} \frac{16\pi}{3}$;

в) $\operatorname{tg} \frac{9\pi}{4}$;

г) $\operatorname{tg} 19\pi$.

Верно ли, что числа $-9\pi; -4\pi; -\pi; 2\pi; 15\pi; 100\pi$ являются периодами данной функции?

Основное свойство, которое мы будем использовать, — это периодичность функции тангенса. Наименьший положительный период функции $f(x) = \operatorname{tg} x$ равен $\pi$. Это означает, что для любого целого числа $k$ выполняется равенство $\operatorname{tg}(x + k\pi) = \operatorname{tg} x$.

а) Выделим целую часть из неправильной дроби в аргументе функции, чтобы применить свойство периодичности:$$ \frac{13\pi}{6} = \left(2 + \frac{1}{6}\right)\pi = 2\pi + \frac{\pi}{6} $$Здесь $k=2$ является целым числом. Следовательно:$$ \operatorname{tg} \frac{13\pi}{6} = \operatorname{tg}\left(2\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} $$Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

б) Выделим целую часть из неправильной дроби в аргументе функции:$$ \frac{16\pi}{3} = \left(5 + \frac{1}{3}\right)\pi = 5\pi + \frac{\pi}{3} $$Здесь $k=5$ является целым числом. Следовательно:$$ \operatorname{tg} \frac{16\pi}{3} = \operatorname{tg}\left(5\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} $$Ответ: $\sqrt{3}$

в) Выделим целую часть из неправильной дроби в аргументе функции:$$ \frac{9\pi}{4} = \left(2 + \frac{1}{4}\right)\pi = 2\pi + \frac{\pi}{4} $$Здесь $k=2$ является целым числом. Следовательно:$$ \operatorname{tg} \frac{9\pi}{4} = \operatorname{tg}\left(2\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $$Ответ: $1$

г) Аргумент $19\pi$ является целым кратным периода $\pi$. Здесь $k=19$.$$ \operatorname{tg} 19\pi = \operatorname{tg}(19\pi + 0) = \operatorname{tg}(0) = 0 $$Также можно представить $19\pi$ как $18\pi + \pi$:$$ \operatorname{tg} 19\pi = \operatorname{tg}(18\pi + \pi) = \operatorname{tg}(\pi) = 0 $$Ответ: $0$

По определению, число $T \neq 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Основным (наименьшим положительным) периодом функции $f(x) = \operatorname{tg} x$ является число $T_0 = \pi$. Любое число вида $T = k \cdot \pi$, где $k$ - любое целое ненулевое число ($k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$), также является периодом функции тангенса.

Проверим каждое из предложенных чисел на соответствие форме $k\pi$:

• $-9\pi = (-9) \cdot \pi$. Так как $k=-9$ - целое, ненулевое число, $-9\pi$ является периодом.
• $-4\pi = (-4) \cdot \pi$. Так как $k=-4$ - целое, ненулевое число, $-4\pi$ является периодом.
• $-\pi = (-1) \cdot \pi$. Так как $k=-1$ - целое, ненулевое число, $-\pi$ является периодом.
• $2\pi = 2 \cdot \pi$. Так как $k=2$ - целое, ненулевое число, $2\pi$ является периодом.
• $15\pi = 15 \cdot \pi$. Так как $k=15$ - целое, ненулевое число, $15\pi$ является периодом.
• $100\pi = 100 \cdot \pi$. Так как $k=100$ - целое, ненулевое число, $100\pi$ является периодом.

Таким образом, все перечисленные числа являются периодами функции $f(x) = \operatorname{tg} x$.
Ответ: Да, верно.