Номер 1.259, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.259. Из чисел $-\frac{7\pi}{3}$; $-\frac{3\pi}{4}$; $-\frac{\pi}{6}$; $0$; $\frac{\pi}{8}$; $\frac{5\pi}{6}$; $2\pi$ выберите значения аргумента, при которых функция $y = \operatorname{tg} x$ принимает отрицательные значения.

Функция $y = \text{tg } x$ принимает отрицательные значения, когда её аргумент $x$ является углом, оканчивающимся во второй или четвертой координатной четверти. Область отрицательных значений тангенса можно описать неравенством: $\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \pi + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проанализируем каждое из предложенных значений аргумента:

$-\frac{7\pi}{3}$: Чтобы определить положение угла, выделим целую часть: $-\frac{7\pi}{3} = -2\frac{1}{3}\pi = -2\pi - \frac{\pi}{3}$. Отбросив полный оборот $-2\pi$, получаем угол $-\frac{\pi}{3}$, который находится в IV четверти. В IV четверти тангенс отрицателен.
Ответ: -2$\frac{1}{3}\pi$

$-\frac{3\pi}{4}$: Угол $-\frac{3\pi}{4}$ находится в III четверти, так как $-\pi < -\frac{3\pi}{4} < -\frac{\pi}{2}$. В III четверти тангенс положителен.
Ответ: не принимает отрицательное значение.

$-\frac{\pi}{6}$: Угол $-\frac{\pi}{6}$ находится в IV четверти, так как $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{6} < 0$. В IV четверти тангенс отрицателен.
Ответ: $-\frac{\pi}{6}$

$0$: При $x=0$, значение функции $\text{tg } 0 = 0$. Ноль не является отрицательным числом.
Ответ: не принимает отрицательное значение.

$\frac{\pi}{8}$: Угол $\frac{\pi}{8}$ находится в I четверти, так как $0 < \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$. В I четверти тангенс положителен.
Ответ: не принимает отрицательное значение.

$\frac{5\pi}{6}$: Угол $\frac{5\pi}{6}$ находится во II четверти, так как $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi$. Во II четверти тангенс отрицателен.
Ответ: $\frac{5\pi}{6}$

$2\pi$: Угол $2\pi$ котерминален углу $0$, поэтому $\text{tg } (2\pi) = \text{tg } 0 = 0$. Ноль не является отрицательным числом.
Ответ: не принимает отрицательное значение.