Номер 1.261, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.261. Определите знак выражения $\mathrm{tg}(-189^\circ) \cdot \mathrm{tg}(-35^\circ) \cdot \mathrm{tg}(197^\circ)$.

Для определения знака выражения $\text{tg}(-189^\circ) \cdot \text{tg}(-35^\circ) \cdot \text{tg}(197^\circ)$ необходимо последовательно определить знак каждого сомножителя и затем найти знак их произведения.

Знак функции тангенса зависит от координатной четверти, в которой расположен угол:

• I четверть ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$): $\text{tg}(\alpha) > 0$ (положительный)
• II четверть ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$): $\text{tg}(\alpha) < 0$ (отрицательный)
• III четверть ($180^\circ < \alpha < 270^\circ$): $\text{tg}(\alpha) > 0$ (положительный)
• IV четверть ($270^\circ < \alpha < 360^\circ$): $\text{tg}(\alpha) < 0$ (отрицательный)

Также воспользуемся свойством нечетности функции тангенса: $\text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha)$.

Применим свойство нечетности: $\text{tg}(-189^\circ) = -\text{tg}(189^\circ)$. Угол $189^\circ$ принадлежит III четверти, так как $180^\circ < 189^\circ < 270^\circ$. В этой четверти тангенс имеет положительный знак ($\text{tg}(189^\circ) > 0$). Следовательно, выражение $-\text{tg}(189^\circ)$ будет иметь отрицательный знак.

Ответ: знак "минус" (–).

Применим свойство нечетности: $\text{tg}(-35^\circ) = -\text{tg}(35^\circ)$. Угол $35^\circ$ принадлежит I четверти ($0^\circ < 35^\circ < 90^\circ$), где тангенс положителен ($\text{tg}(35^\circ) > 0$). Следовательно, выражение $-\text{tg}(35^\circ)$ будет иметь отрицательный знак.

Ответ: знак "минус" (–).

Угол $197^\circ$ принадлежит III четверти ($180^\circ < 197^\circ < 270^\circ$), где тангенс имеет положительный знак.

Ответ: знак "плюс" (+).

Теперь определим знак всего произведения, перемножив знаки его сомножителей: $$ (-) \cdot (-) \cdot (+) = (+) $$ Произведение двух отрицательных значений дает положительное значение. Умножение полученного положительного значения на положительное также дает положительное значение.

Ответ: Знак выражения $\text{tg}(-189^\circ) \cdot \text{tg}(-35^\circ) \cdot \text{tg}(197^\circ)$ — положительный (+).