Номер 1.267, страница 84 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.267. Найдите несколько значений аргумента, при которых функция $y = \operatorname{ctg} x$ принимает значение, равное $\sqrt{3}$.

Для нахождения значений аргумента $x$, при которых функция $y = \operatorname{ctg} x$ принимает значение $\sqrt{3}$, необходимо решить тригонометрическое уравнение:

$$ \operatorname{ctg} x = \sqrt{3} $$

Общее решение уравнения вида $\operatorname{ctg} x = a$ находится по формуле:

$$ x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} \text{ (n — любое целое число)} $$

Для нашего случая, $a = \sqrt{3}$. Табличное значение арккотангенса:

$$ \operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6} $$

Подставив это значение в общую формулу, получаем все решения нашего уравнения:

$$ x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $$

Чтобы найти несколько конкретных значений аргумента, подставим в полученную формулу различные целые значения $n$.

При n = 0:
$x = \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6}$.

При n = 1:
$x = \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 1 = \frac{\pi}{6} + \frac{6\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.
Так как дробь $\frac{7}{6}$ неправильная, выделим из неё целую часть: $\frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$.
Ответ: $x = $ 1$\frac{1}{6}\pi$.

При n = 2:
$x = \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 2 = \frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$.
Выделим целую часть из дроби $\frac{13}{6}$: $\frac{13}{6} = 2\frac{1}{6}$.
Ответ: $x = $ 2$\frac{1}{6}\pi$.

При n = -1:
$x = \frac{\pi}{6} + \pi \cdot (-1) = \frac{\pi}{6} - \frac{6\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}$.
Ответ: $x = -\frac{5\pi}{6}$.