Номер 1.270, страница 84 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.270. Используя свойство нечетности функции $f(x) = ctg x$, найдите:

a) $ctg(-\frac{\pi}{6});$

б) $ctg(-\frac{3\pi}{2}).$

Для решения данной задачи используется свойство нечетности функции $f(x) = \operatorname{ctg} x$. Функция называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Таким образом, для котангенса справедливо тождество:

$\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$

а) Найдем значение $\operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{6})$.

Применим свойство нечетности котангенса:

$\operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{6}) = -\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{6})$

Значение котангенса угла $\frac{\pi}{6}$ (что соответствует $30^{\circ}$) является табличным и равно $\sqrt{3}$.

$\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$

Следовательно, получаем:

$\operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{6}) = -\sqrt{3}$

Ответ: $-\sqrt{3}$

б) Найдем значение $\operatorname{ctg}(-\frac{3\pi}{2})$.

Применим свойство нечетности котангенса:

$\operatorname{ctg}(-\frac{3\pi}{2}) = -\operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{2})$

Для вычисления $\operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{2})$ воспользуемся определением котангенса через косинус и синус: $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$.

Для угла $\frac{3\pi}{2}$ (что соответствует $270^{\circ}$) имеем:

$\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

$\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$

Подставляем эти значения:

$\operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{2}) = \frac{0}{-1} = 0$

Следовательно, получаем:

$-\operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{2}) = -0 = 0$

Ответ: 0