Номер 1.272, страница 84 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.272. Из чисел $-11\pi/2$; $-5\pi$; $-3\pi/2$; $-\pi$; $-\pi/3$; $0$; $3\pi$; $9\pi/2$ выберите нули функции $f(x) = \operatorname{ctg} x$.

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $f(x)$ равно нулю. Чтобы найти нули функции $f(x) = \operatorname{ctg} x$, необходимо решить уравнение:

$\operatorname{ctg} x = 0$

Используя определение котангенса $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$, получаем уравнение:

$\frac{\cos x}{\sin x} = 0$

Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. То есть, мы должны решить систему условий:

$\begin{cases} \cos x = 0 \\ \sin x \neq 0 \end{cases}$

Уравнение $\cos x = 0$ имеет решения $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Проверим второе условие: если $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то $\sin x$ принимает значения $1$ (при четных $k$) или $-1$ (при нечетных $k$). В обоих случаях $\sin x \neq 0$, поэтому условие выполняется.

Следовательно, нулями функции котангенса являются числа вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь проверим, какие из предложенных чисел соответствуют этой формуле.

$-\frac{11\pi}{2}$
Проверим, можно ли представить это число в виде $\frac{\pi}{2} + \pi k$ для некоторого целого $k$:
$-\frac{11\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$
Разделив обе части на $\pi$, получим: $-\frac{11}{2} = \frac{1}{2} + k$.
Отсюда $k = -\frac{11}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{12}{2} = -6$.
Поскольку $k=-6$ — целое число, данное число является нулем функции.
Ответ: $-\frac{11\pi}{2} = -5\frac{1}{2}\pi$.

$-5\pi$
Проверим: $-5\pi = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies -5 = \frac{1}{2} + k \implies k = -5.5$.
Поскольку $k$ не является целым числом, данное число не является нулем функции.
Ответ: не является нулем.

$-\frac{3\pi}{2}$
Проверим: $-\frac{3\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies -\frac{3}{2} = \frac{1}{2} + k \implies k = -\frac{4}{2} = -2$.
Поскольку $k=-2$ — целое число, данное число является нулем функции.
Ответ: $-\frac{3\pi}{2} = -1\frac{1}{2}\pi$.

$-\pi$
Проверим: $-\pi = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies -1 = \frac{1}{2} + k \implies k = -1.5$.
Поскольку $k$ не является целым числом, данное число не является нулем функции.
Ответ: не является нулем.

$-\frac{\pi}{3}$
Проверим: $-\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies -\frac{1}{3} = \frac{1}{2} + k \implies k = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{5}{6}$.
Поскольку $k$ не является целым числом, данное число не является нулем функции.
Ответ: не является нулем.

$0$
Проверим: $0 = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies 0 = \frac{1}{2} + k \implies k = -0.5$.
Поскольку $k$ не является целым числом, данное число не является нулем функции.
Ответ: не является нулем.

$3\pi$
Проверим: $3\pi = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies 3 = \frac{1}{2} + k \implies k = 2.5$.
Поскольку $k$ не является целым числом, данное число не является нулем функции.
Ответ: не является нулем.

$\frac{9\pi}{2}$
Проверим: $\frac{9\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies \frac{9}{2} = \frac{1}{2} + k \implies k = \frac{8}{2} = 4$.
Поскольку $k=4$ — целое число, данное число является нулем функции.
Ответ: $\frac{9\pi}{2} = 4\frac{1}{2}\pi$.

Таким образом, из предложенного списка нулями функции $f(x)=\operatorname{ctg} x$ являются числа: $-\frac{11\pi}{2}$, $-\frac{3\pi}{2}$, $\frac{9\pi}{2}$.