Номер 1.273, страница 84 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.273. Из чисел $-\frac{5\pi}{3}$; $-\frac{3\pi}{4}$; $-\frac{\pi}{3}$; $\frac{\pi}{8}$; $\frac{\pi}{2}$; $\frac{2\pi}{3}$; $\frac{3\pi}{2}$ выберите значения аргумента, при которых функция $y = \operatorname{ctg} x$ принимает положительные значения.

Функция $y = \text{ctg } x$ принимает положительные значения, если её аргумент $x$ соответствует углу в первой или третьей координатной четверти. Условие положительности котангенса можно записать в виде неравенства $x \in (\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проанализируем каждое из данных чисел, определив его положение на тригонометрической окружности.

$-\frac{5\pi}{3}$. Чтобы определить четверть, найдем соответствующий положительный угол, прибавив $2\pi$: $-\frac{5\pi}{3} + 2\pi = \frac{-5\pi + 6\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$. Угол $\frac{\pi}{3}$ находится в I четверти, где котангенс положителен. Следовательно, данное значение подходит. Ответ: $-1\frac{2}{3}\pi$

$-\frac{3\pi}{4}$. Найдем соответствующий положительный угол: $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{-3\pi + 8\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$. Угол $\frac{5\pi}{4}$ находится в III четверти, где котангенс положителен. Следовательно, данное значение подходит. Ответ: $-\frac{3\pi}{4}$

$-\frac{\pi}{3}$. Найдем соответствующий положительный угол: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{-\pi + 6\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$. Угол $\frac{5\pi}{3}$ находится в IV четверти, где котангенс отрицателен. Следовательно, данное значение не подходит.

$\frac{\pi}{8}$. Угол $\frac{\pi}{8}$ находится в I четверти, так как $0 < \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$, где котангенс положителен. Следовательно, данное значение подходит. Ответ: $\frac{\pi}{8}$

$\frac{\pi}{2}$. На оси ординат значение котангенса равно нулю: $\text{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0$. Так как $0$ не является положительным числом, данное значение не подходит.

$\frac{2\pi}{3}$. Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во II четверти, так как $\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi$, где котангенс отрицателен. Следовательно, данное значение не подходит.

$\frac{3\pi}{2}$. На оси ординат значение котангенса равно нулю: $\text{ctg}(\frac{3\pi}{2}) = 0$. Так как $0$ не является положительным числом, данное значение не подходит.