Номер 1.280, страница 85 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.280. С помощью графика функции $y = \text{tg }x$ определите, верно ли, что:

а) при значении аргумента, равном $-\pi$, значение функции равно 0;

б) число $\frac{\pi}{2}$ является нулем функции;

в) $\text{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)=1$.

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами и графиком функции $y = \tg x$.

Основные свойства функции тангенса:

• Нули функции: точки, в которых график пересекает ось абсцисс. Это происходит, когда $x = \pi n$, где $n$ — любое целое число ($...-\pi, 0, \pi, 2\pi...$). В этих точках $\tg x = 0$.
• Вертикальные асимптоты: прямые, к которым график функции бесконечно приближается. Для тангенса они находятся в точках, где функция не определена, то есть $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.
• Нечетность: функция является нечетной, что означает $\tg(-x) = -\tg(x)$.

Проанализируем каждое утверждение на основе этих свойств.

а) при значении аргумента, равном $-\pi$, значение функции равно 0
Это утверждение можно записать как $\tg(-\pi) = 0$. Нули функции тангенса находятся в точках вида $x = \pi n$. При $n = -1$ получаем $x = -\pi$. Следовательно, в этой точке значение функции действительно равно 0. На графике это точка пересечения с осью Ох. Утверждение верно.
Ответ: верно.

б) число $\frac{\pi}{2}$ является нулем функции
Нуль функции — это значение аргумента, при котором значение функции равно нулю. Утверждение гласит, что $\tg(\frac{\pi}{2})=0$. Однако, точка $x = \frac{\pi}{2}$ не входит в область определения функции $y = \tg x$, так как в этой точке косинус равен нулю, а на ноль делить нельзя ($\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$). В точке $x = \frac{\pi}{2}$ график функции имеет вертикальную асимптоту. Следовательно, это число не может быть нулем функции. Утверждение неверно.
Ответ: неверно.

в) $\tg(-\frac{\pi}{4}) = 1$
Проверим это равенство. Тангенс — нечетная функция, поэтому $\tg(-x) = -\tg(x)$. Применим это свойство:$\tg(-\frac{\pi}{4}) = -\tg(\frac{\pi}{4})$. Табличное значение тангенса для $\frac{\pi}{4}$ равно 1. Следовательно, $\tg(-\frac{\pi}{4}) = -1$. Утверждение, что $\tg(-\frac{\pi}{4}) = 1$, является ложным.
Ответ: неверно.