Номер 1.281, страница 85 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.281. Найдите несколько значений аргумента, при которых функция $y = \operatorname{tg} x$ принимает значение, равное $\sqrt{3}$.

Для того чтобы найти значения аргумента $x$, при которых функция $y = \operatorname{tg} x$ принимает значение, равное $\sqrt{3}$, необходимо решить тригонометрическое уравнение:

$\operatorname{tg} x = \sqrt{3}$

Общее решение этого уравнения находится по формуле:$x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $a$ — значение тангенса, а $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

В данном случае $a = \sqrt{3}$. Табличное значение арктангенса для $\sqrt{3}$ равно $\frac{\pi}{3}$, поскольку $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$.

Следовательно, общая формула для всех искомых значений аргумента $x$ выглядит так:

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Теперь найдем несколько частных значений аргумента, подставляя в формулу различные целые значения $n$.

При n = 0:$x = \frac{\pi}{3} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{3}$. Это правильная дробь. Ответ: $x = \frac{\pi}{3}$.

При n = 1:$x = \frac{\pi}{3} + \pi \cdot 1 = \frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$. Это неправильная дробь, выделим целую часть: $\frac{4\pi}{3} = 1\frac{1}{3}\pi$. Ответ: $x = \mathbf{1}\frac{1}{3}\pi$.

При n = 2:$x = \frac{\pi}{3} + \pi \cdot 2 = \frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}$. Это неправильная дробь, выделим целую часть: $\frac{7\pi}{3} = 2\frac{1}{3}\pi$. Ответ: $x = \mathbf{2}\frac{1}{3}\pi$.

При n = -1:$x = \frac{\pi}{3} + \pi \cdot (-1) = \frac{\pi}{3} - \frac{3\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}$. Это правильная дробь. Ответ: $x = -\frac{2\pi}{3}$.

При n = -2:$x = \frac{\pi}{3} + \pi \cdot (-2) = \frac{\pi}{3} - \frac{6\pi}{3} = -\frac{5\pi}{3}$. Это неправильная дробь, выделим целую часть: $-\frac{5\pi}{3} = -1\frac{2}{3}\pi$. Ответ: $x = \mathbf{-1}\frac{2}{3}\pi$.