Номер 1.283, страница 85 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.283. Используя свойство периодичности функции $f(x) = \operatorname{tg} x$, найдите:

а) $\operatorname{tg}\frac{4\pi}{3}$;

б) $\operatorname{tg}\frac{17\pi}{4}$;

в) $\operatorname{tg}\frac{19\pi}{6}$;

г) $\operatorname{tg} 7\pi$.

Для решения задачи используется свойство периодичности функции тангенса: $\tg(x + k\pi) = \tg x$, где $T = \pi$ - основной период, а $k$ - любое целое число. Чтобы найти значения тангенса, мы выделим из аргумента целое число периодов $\pi$, представив каждый аргумент в виде суммы $k\pi + \alpha$, где $k$ - это целая часть, полученная от деления аргумента на $\pi$.

а) $\tg \frac{4\pi}{3}$
Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{4}{3}$, получив $1\frac{1}{3}$. Это означает, что мы можем отбросить один полный период $\pi$.
$\tg \frac{4\pi}{3} = \tg(\mathbf{1}\pi + \frac{\pi}{3}) = \tg \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

б) $\tg \frac{17\pi}{4}$
Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{17}{4}$, получив $4\frac{1}{4}$. Это означает, что мы можем отбросить четыре полных периода $\pi$.
$\tg \frac{17\pi}{4} = \tg(\mathbf{4}\pi + \frac{\pi}{4}) = \tg \frac{\pi}{4} = 1$.
Ответ: $1$.

в) $\tg \frac{19\pi}{6}$
Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{19}{6}$, получив $3\frac{1}{6}$. Это означает, что мы можем отбросить три полных периода $\pi$.
$\tg \frac{19\pi}{6} = \tg(\mathbf{3}\pi + \frac{\pi}{6}) = \tg \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

г) $\tg 7\pi$
Аргумент $7\pi$ является целым кратным периода $\pi$. Это означает, что мы можем отбросить семь полных периодов $\pi$.
$\tg 7\pi = \tg(\mathbf{7}\pi + 0) = \tg 0 = 0$.
Ответ: $0$.