Номер 1.289, страница 85 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.289. Расположите в порядке убывания числа $tg(-37^\circ)$, $tg 67^\circ$ и $tg 23^\circ$.

Чтобы расположить данные числа в порядке убывания, необходимо сравнить их значения. Для этого проанализируем свойства функции тангенс $y = \tg(x)$.

1. Определение знаков чисел.

Тангенс является нечетной функцией, то есть $\tg(-\alpha) = -\tg(\alpha)$. Применим это свойство к $\tg(-37^\circ)$:

$\tg(-37^\circ) = -\tg(37^\circ)$

Углы $23^\circ$, $37^\circ$ и $67^\circ$ находятся в первой координатной четверти (от $0^\circ$ до $90^\circ$), где значения тангенса положительны. Следовательно:

• $\tg(23^\circ) > 0$
• $\tg(67^\circ) > 0$
• $\tg(-37^\circ) = -\tg(37^\circ) < 0$ (так как $\tg(37^\circ) > 0$)

Поскольку $\tg(-37^\circ)$ — единственное отрицательное число в наборе, оно является наименьшим из трех.

2. Сравнение положительных чисел.

Теперь сравним два положительных числа: $\tg(67^\circ)$ и $\tg(23^\circ)$.

Функция $y = \tg(x)$ является возрастающей на интервале $(-90^\circ, 90^\circ)$. Это значит, что для двух углов из этого интервала, большему углу соответствует большее значение тангенса.

Поскольку оба угла $23^\circ$ и $67^\circ$ принадлежат этому интервалу и $67^\circ > 23^\circ$, мы можем заключить, что:

$\tg(67^\circ) > \tg(23^\circ)$

3. Формирование итогового порядка.

Объединив полученные результаты, мы получаем следующее неравенство:

$\tg(67^\circ) > \tg(23^\circ) > \tg(-37^\circ)$

Таким образом, числа в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему) располагаются следующим образом.

Ответ: $\tg(67^\circ)$, $\tg(23^\circ)$, $\tg(-37^\circ)$.