Номер 1.295, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.295. Используя свойство периодичности функции $f(x) = \operatorname{ctg} x$, найдите:

а) $\operatorname{ctg} \frac{7 \pi}{3}$;б) $\operatorname{ctg} \frac{31 \pi}{6}$;в) $\operatorname{ctg} \frac{13 \pi}{4}$;г) $\operatorname{ctg} \frac{19 \pi}{2}$.

Верно ли, что число $7\pi$ является периодом данной функции?

Для решения задачи используется свойство периодичности функции $f(x) = \operatorname{ctg}x$. Основной (наименьший положительный) период этой функции равен $T = \pi$. Это означает, что для любого $x$ из области определения и любого целого числа $k$ выполняется равенство: $$ \operatorname{ctg}(x + k\pi) = \operatorname{ctg}x $$ Чтобы найти значения котангенса для заданных углов, мы представим их аргументы в виде суммы, где одно из слагаемых кратно периоду $\pi$.

Выделим целую часть из дроби $\frac{7}{3}$, чтобы представить аргумент в виде $x_0 + k\pi$: $$ \frac{7\pi}{3} = (\mathbf{2} + \frac{1}{3})\pi = 2\pi + \frac{\pi}{3} $$ Здесь мы видим, что к углу $\frac{\pi}{3}$ прибавлено $k=2$ полных периода. Используя свойство периодичности, отбрасываем $2\pi$: $$ \operatorname{ctg}\frac{7\pi}{3} = \operatorname{ctg}(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \operatorname{ctg}\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} $$ Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Выделим целую часть из дроби $\frac{31}{6}$: $$ \frac{31\pi}{6} = (\mathbf{5} + \frac{1}{6})\pi = 5\pi + \frac{\pi}{6} $$ Так как $5\pi$ является периодом (при $k=5$): $$ \operatorname{ctg}\frac{31\pi}{6} = \operatorname{ctg}(5\pi + \frac{\pi}{6}) = \operatorname{ctg}\frac{\pi}{6} = \sqrt{3} $$ Ответ: $\sqrt{3}$.

Выделим целую часть из дроби $\frac{13}{4}$: $$ \frac{13\pi}{4} = (\mathbf{3} + \frac{1}{4})\pi = 3\pi + \frac{\pi}{4} $$ Так как $3\pi$ является периодом (при $k=3$): $$ \operatorname{ctg}\frac{13\pi}{4} = \operatorname{ctg}(3\pi + \frac{\pi}{4}) = \operatorname{ctg}\frac{\pi}{4} = 1 $$ Ответ: $1$.

Выделим целую часть из дроби $\frac{19}{2}$: $$ \frac{19\pi}{2} = (\mathbf{9} + \frac{1}{2})\pi = 9\pi + \frac{\pi}{2} $$ Так как $9\pi$ является периодом (при $k=9$): $$ \operatorname{ctg}\frac{19\pi}{2} = \operatorname{ctg}(9\pi + \frac{\pi}{2}) = \operatorname{ctg}\frac{\pi}{2} = 0 $$ Ответ: $0$.

Да, это утверждение верно.
По определению, число $T \ne 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
Основной период функции $y = \operatorname{ctg}x$ равен $\pi$. Любое число вида $T_k = k\pi$, где $k$ — целое ненулевое число, также является периодом этой функции.
Число $7\pi$ получается при $k=7$ ($7\pi = 7 \cdot \pi$), следовательно, $7\pi$ является периодом функции $y = \operatorname{ctg}x$. Равенство $\operatorname{ctg}(x + 7\pi) = \operatorname{ctg}(x)$ справедливо для всех $x$ из области определения.
Ответ: Да, верно.