Номер 1.298, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.208. Верно ли, что нулями функции $f(x) = \text{ctg } x$ являются числа:

a) $\frac{\pi}{2}$;

б) $5\pi$;

в) $-\frac{9\pi}{2}$;

г) $\pi$;

д) $-7\pi$;

е) $\frac{11\pi}{2}$?

Нули функции $f(x) = \text{ctg } x$ – это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю. Чтобы найти нули, необходимо решить уравнение $\text{ctg } x = 0$.

По определению котангенса, $\text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

1) Решим уравнение $\cos x = 0$.
Это частный случай тригонометрического уравнения, его решения имеют вид:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k – любое целое число).

2) Проверим условие $\sin x \neq 0$ для найденных корней.
Если $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то $\sin x$ принимает значения $1$ (при четных $k$) или $-1$ (при нечетных $k$). В любом случае, $\sin x \neq 0$, поэтому условие выполняется.

Следовательно, нулями функции $f(x) = \text{ctg } x$ являются все числа вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – целое число. Теперь проверим каждое из предложенных чисел, можно ли его представить в таком виде при целом значении $k$.

а) $\frac{\pi}{2}$
Проверим, существует ли целое $k$, такое что $\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$.
$\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = \pi k$
$0 = \pi k$
$k = 0$
Так как $k=0$ является целым числом, то данное число – нуль функции.
Ответ: Верно.

б) $5\pi$
Проверим, существует ли целое $k$, такое что $5\pi = \frac{\pi}{2} + \pi k$.
Разделим обе части уравнения на $\pi$:
$5 = \frac{1}{2} + k$
$k = 5 - \frac{1}{2} = 4\frac{1}{2}$
Так как $k$ не является целым числом, то данное число не является нулем функции.
Ответ: Неверно.

в) $-\frac{9\pi}{2}$
Проверим, существует ли целое $k$, такое что $-\frac{9\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$.
Разделим обе части на $\pi$:
$-\frac{9}{2} = \frac{1}{2} + k$
$k = -\frac{9}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{10}{2} = -5$
Так как $k=-5$ является целым числом, то данное число – нуль функции.
Ответ: Верно.

г) $\pi$
Проверим, существует ли целое $k$, такое что $\pi = \frac{\pi}{2} + \pi k$.
Разделим обе части на $\pi$:
$1 = \frac{1}{2} + k$
$k = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
Так как $k$ не является целым числом, то данное число не является нулем функции.
Ответ: Неверно.

д) $-7\pi$
Проверим, существует ли целое $k$, такое что $-7\pi = \frac{\pi}{2} + \pi k$.
Разделим обе части на $\pi$:
$-7 = \frac{1}{2} + k$
$k = -7 - \frac{1}{2} = -7\frac{1}{2}$
Так как $k$ не является целым числом, то данное число не является нулем функции.
Ответ: Неверно.

е) $\frac{11\pi}{2}$
Проверим, существует ли целое $k$, такое что $\frac{11\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$.
Разделим обе части на $\pi$:
$\frac{11}{2} = \frac{1}{2} + k$
$k = \frac{11}{2} - \frac{1}{2} = \frac{10}{2} = 5$
Так как $k=5$ является целым числом, то данное число – нуль функции.
Ответ: Верно.