Номер 1.305, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.305. Упростите выражение:

а) $6\sqrt{7} - \sqrt{28};$

б) $(\sqrt{20} - \sqrt{5})^2;$

в) $-\sqrt{2} \cdot (5\sqrt{2} + \sqrt{18});$

г) $(\sqrt{27} - \sqrt{75}) : (2\sqrt{3}).$

а) Чтобы упростить выражение $6\sqrt{7} - \sqrt{28}$, необходимо привести его к виду, где подкоренные выражения одинаковы. Для этого упростим $\sqrt{28}$.
Разложим число 28 на множители так, чтобы один из них был полным квадратом: $28 = 4 \cdot 7$.
Теперь можно вынести множитель из-под знака корня:
$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$.
Подставим полученное значение обратно в исходное выражение:
$6\sqrt{7} - 2\sqrt{7}$
Теперь, когда подкоренные выражения одинаковы, мы можем выполнить вычитание коэффициентов перед корнями:
$(6 - 2)\sqrt{7} = 4\sqrt{7}$.
Ответ: $4\sqrt{7}$.

б) Чтобы упростить выражение $(\sqrt{20} - \sqrt{5})^2$, сначала упростим члены внутри скобок. Упростим $\sqrt{20}$.
Разложим 20 на множители: $20 = 4 \cdot 5$.
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.
Теперь выражение в скобках принимает вид:
$2\sqrt{5} - \sqrt{5} = (2-1)\sqrt{5} = \sqrt{5}$.
Возведем полученный результат в квадрат:
$(\sqrt{5})^2 = 5$.
Альтернативный способ: использовать формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(\sqrt{20} - \sqrt{5})^2 = (\sqrt{20})^2 - 2 \cdot \sqrt{20} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 20 - 2\sqrt{20 \cdot 5} + 5 = 20 - 2\sqrt{100} + 5 = 20 - 2 \cdot 10 + 5 = 20 - 20 + 5 = 5$.
Ответ: 5.

в) Чтобы упростить выражение $-\sqrt{2} \cdot (5\sqrt{2} + \sqrt{18})$, можно сначала упростить выражение в скобках, а затем выполнить умножение.
Упростим $\sqrt{18}$. Разложим 18 на множители: $18 = 9 \cdot 2$.
$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
Подставим это в исходное выражение:
$-\sqrt{2} \cdot (5\sqrt{2} + 3\sqrt{2})$
Сложим члены в скобках:
$5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (5+3)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.
Теперь выполним умножение:
$-\sqrt{2} \cdot 8\sqrt{2} = -8 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = -8 \cdot 2 = -16$.
Ответ: -16.

г) Чтобы упростить выражение $(\sqrt{27} - \sqrt{75}) : (2\sqrt{3})$, сначала упростим члены в скобках.
Упростим $\sqrt{27}$. Разложим 27 на множители: $27 = 9 \cdot 3$.
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.
Упростим $\sqrt{75}$. Разложим 75 на множители: $75 = 25 \cdot 3$.
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
Теперь выражение в скобках принимает вид:
$3\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = (3-5)\sqrt{3} = -2\sqrt{3}$.
Теперь выполним деление:
$(-2\sqrt{3}) : (2\sqrt{3}) = \frac{-2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = -1$.
Ответ: -1.