Номер 1.302, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.302. С помощью графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ постройте график функции:

а) $y = \operatorname{ctg} \left(x + \frac{\pi}{6}\right);$

б) $y = \operatorname{ctg} x - 1.$

Для решения данной задачи мы будем использовать метод геометрических преобразований графика функции $y = \operatorname{ctg} x$.

График функции $y = f(x+a)$ получается из графика функции $y=f(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (Ox). Если $a > 0$, сдвиг происходит влево на $a$ единиц. Если $a < 0$, сдвиг происходит вправо на $|a|$ единиц.

В данном случае у нас функция $y = \operatorname{ctg}(x + \frac{\pi}{6})$. Здесь $f(x) = \operatorname{ctg} x$ и $a = \frac{\pi}{6}$. Поскольку $a > 0$, для построения искомого графика необходимо сдвинуть график функции $y = \operatorname{ctg} x$ влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{6}$ единиц.

Основные изменения при таком преобразовании:

• Вертикальные асимптоты графика $y = \operatorname{ctg} x$, которые были в точках $x = k\pi, k \in \mathbb{Z}$, смещаются влево и теперь находятся в точках $x = k\pi - \frac{\pi}{6}$. Например, асимптота $x=0$ переходит в $x = -\frac{\pi}{6}$, а асимптота $x=\pi$ переходит в $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
• Нули функции (точки пересечения с осью Ox), которые для $y = \operatorname{ctg} x$ были в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, смещаются влево и теперь находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + k\pi$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg}(x + \frac{\pi}{6})$ получается из графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ путем сдвига влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{6}$.

График функции $y = f(x) + b$ получается из графика функции $y=f(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (Oy). Если $b > 0$, сдвиг происходит вверх на $b$ единиц. Если $b < 0$, сдвиг происходит вниз на $|b|$ единиц.

В данном случае у нас функция $y = \operatorname{ctg} x - 1$. Здесь $f(x) = \operatorname{ctg} x$ и $b = -1$. Поскольку $b < 0$, для построения искомого графика необходимо сдвинуть график функции $y = \operatorname{ctg} x$ вниз вдоль оси Oy на 1 единицу.

Основные изменения при таком преобразовании:

• Вертикальные асимптоты $x = k\pi, k \in \mathbb{Z}$ остаются на своих местах, так как сдвиг происходит по вертикали.
• Все точки графика смещаются на 1 единицу вниз. Например, точки $(\frac{\pi}{4}, 1)$ и $(\frac{3\pi}{4}, -1)$ на графике $y=\operatorname{ctg} x$ переходят в точки $(\frac{\pi}{4}, 0)$ и $(\frac{3\pi}{4}, -2)$ соответственно.
• Новые нули функции (точки пересечения с осью Ox) находятся из уравнения $\operatorname{ctg} x - 1 = 0$, то есть $\operatorname{ctg} x = 1$. Это происходит в точках $x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg} x - 1$ получается из графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ путем сдвига вниз вдоль оси Oy на 1 единицу.