Номер 1.303, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.303. Постройте график функции $y = \text{tg}\left(x - \frac{2\pi}{3}\right)$. Пользуясь графиком, определите:

а) нули функции;

б) промежутки убывания и возрастания функции;

в) промежутки знакопостоянства функции.

Для построения графика функции $y = \text{tg}(x - \frac{2\pi}{3})$ необходимо взять график стандартной функции $y = \text{tg}(x)$ и выполнить его параллельный перенос (сдвиг) вправо вдоль оси абсцисс (оси Ox) на $\frac{2\pi}{3}$.

Период функции $T = \pi$. Вертикальные асимптоты графика находятся из условия $x - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. Решая это уравнение относительно $x$, получаем:$x = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{2} + k\pi = \frac{4\pi + 3\pi}{6} + k\pi = \frac{7\pi}{6} + k\pi$. Выделим целую часть в дроби: $\frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$. Таким образом, уравнения асимптот имеют вид $x = 1\frac{1}{6}\pi + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

Используя эти сведения, ответим на вопросы задачи.

а) нули функции:
Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю.$\text{tg}(x - \frac{2\pi}{3}) = 0$Это равенство выполняется, когда аргумент тангенса равен $k\pi$:$x - \frac{2\pi}{3} = k\pi, k \in \mathbb{Z}$$x = \frac{2\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

б) промежутки убывания и возрастания функции:
Функция тангенса является строго возрастающей на всей своей области определения. Следовательно, у функции $y = \text{tg}(x - \frac{2\pi}{3})$ нет промежутков убывания. Промежутки возрастания — это интервалы между соседними вертикальными асимптотами. Асимптоты находятся в точках $x = 1\frac{1}{6}\pi + k\pi$. Предыдущая асимптота будет в точке $x = 1\frac{1}{6}\pi + (k-1)\pi = \frac{7\pi}{6} - \pi + k\pi = \frac{\pi}{6} + k\pi$. Таким образом, функция возрастает на интервалах между этими асимптотами.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(\frac{\pi}{6} + k\pi, 1\frac{1}{6}\pi + k\pi), k \in \mathbb{Z}$; промежутков убывания нет.

в) промежутки знакопостоянства функции:
Знаки функции меняются в точках нулей и в точках разрыва (у асимптот).1. Функция положительна ($y>0$):$\text{tg}(x - \frac{2\pi}{3}) > 0$$k\pi < x - \frac{2\pi}{3} < \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$$\frac{2\pi}{3} + k\pi < x < \frac{7\pi}{6} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$Следовательно, $y>0$ на интервалах $(\frac{2\pi}{3} + k\pi, 1\frac{1}{6}\pi + k\pi), k \in \mathbb{Z}$.2. Функция отрицательна ($y<0$):$\text{tg}(x - \frac{2\pi}{3}) < 0$$-\frac{\pi}{2} + k\pi < x - \frac{2\pi}{3} < k\pi, k \in \mathbb{Z}$$\frac{\pi}{6} + k\pi < x < \frac{2\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$Следовательно, $y<0$ на интервалах $(\frac{\pi}{6} + k\pi, \frac{2\pi}{3} + k\pi), k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: функция положительна ($y>0$) на промежутках $(\frac{2\pi}{3} + k\pi, 1\frac{1}{6}\pi + k\pi), k \in \mathbb{Z}$; функция отрицательна ($y<0$) на промежутках $(\frac{\pi}{6} + k\pi, \frac{2\pi}{3} + k\pi), k \in \mathbb{Z}$.