Номер 1.297, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.297. Используя свойства функции $f(x) = \operatorname{ctg} x$, найдите:

а) $f(-7,5\pi)$;

б) $f\left(-\frac{19\pi}{3}\right)$;

в) $f\left(-\frac{25\pi}{4}\right)$.

Для решения данной задачи необходимо использовать следующие свойства функции $f(x) = \text{ctg } x$:

1. Нечетность функции: $\text{ctg}(-x) = -\text{ctg } x$. Это свойство позволяет выносить знак "минус" из аргумента функции.
2. Периодичность функции: котангенс является периодической функцией с наименьшим положительным периодом $\pi$. Это означает, что $\text{ctg}(x + k\pi) = \text{ctg } x$ для любого целого числа $k$.

а) Найдем значение $f(-7,5\pi)$.

По определению функции, $f(-7,5\pi) = \text{ctg}(-7,5\pi)$.

Используем свойство нечетности, чтобы вынести минус из аргумента:
$f(-7,5\pi) = \text{ctg}(-7,5\pi) = -\text{ctg}(7,5\pi)$.

Теперь воспользуемся периодичностью. Представим аргумент $7,5\pi$ в виде суммы целого числа периодов и остатка:
$7,5\pi = 7\pi + 0,5\pi = 7\pi + \frac{\pi}{2}$.

Подставляем это в наше выражение и используем свойство периодичности (где $k=7$):
$-\text{ctg}(7,5\pi) = -\text{ctg}(7\pi + \frac{\pi}{2}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{2})$.

Значение котангенса в точке $\frac{\pi}{2}$ равно нулю: $\text{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Следовательно, $f(-7,5\pi) = -0 = 0$.

Ответ: 0.

б) Найдем значение $f(-\frac{19\pi}{3})$.

$f(-\frac{19\pi}{3}) = \text{ctg}(-\frac{19\pi}{3})$.

Применяем свойство нечетности:
$\text{ctg}(-\frac{19\pi}{3}) = -\text{ctg}(\frac{19\pi}{3})$.

Для использования периодичности, выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{19}{3}$:
$\frac{19}{3} = 6\frac{1}{3}$.
Таким образом, аргумент можно представить в виде:
$\frac{19\pi}{3} = (6 + \frac{1}{3})\pi = 6\pi + \frac{\pi}{3}$.

Подставляем в наше выражение. Так как $k=6$ — целое число, мы можем отбросить $6\pi$:
$-\text{ctg}(\frac{19\pi}{3}) = -\text{ctg}(6\pi + \frac{\pi}{3}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{3})$.

Значение котангенса в точке $\frac{\pi}{3}$ является табличным: $\text{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Следовательно, $f(-\frac{19\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

в) Найдем значение $f(-\frac{25\pi}{4})$.

$f(-\frac{25\pi}{4}) = \text{ctg}(-\frac{25\pi}{4})$.

Используем свойство нечетности:
$\text{ctg}(-\frac{25\pi}{4}) = -\text{ctg}(\frac{25\pi}{4})$.

Выделим целую часть из дроби $\frac{25}{4}$ для использования свойства периодичности:
$\frac{25}{4} = 6\frac{1}{4}$.
Таким образом, аргумент равен:
$\frac{25\pi}{4} = (6 + \frac{1}{4})\pi = 6\pi + \frac{\pi}{4}$.

Подставляем и отбрасываем $6\pi$ (где $k=6$):
$-\text{ctg}(\frac{25\pi}{4}) = -\text{ctg}(6\pi + \frac{\pi}{4}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{4})$.

Значение котангенса в точке $\frac{\pi}{4}$ равно 1: $\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Следовательно, $f(-\frac{25\pi}{4}) = -1$.

Ответ: -1.