Номер 1.294, страница 85 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.294. Найдите область определения и множество значений функции:

a) $y = \operatorname{ctg} 8x;$

б) $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{2}.$

а) Для функции $y = \text{ctg}\,(8x)$.

Область определения ($D(y)$):
Функция котангенс $y = \text{ctg}\,\alpha$ определена для всех значений аргумента $\alpha$, для которых знаменатель в выражении $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ не равен нулю. Это означает, что $\sin\alpha \neq 0$.
Условие $\sin\alpha = 0$ выполняется при $\alpha = \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Для данной функции аргументом является $\alpha = 8x$. Следовательно, для нахождения точек, не входящих в область определения, нужно решить уравнение: $8x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Разделим обе части на 8: $x = \frac{\pi n}{8}, n \in \mathbb{Z}$
Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме чисел вида $\frac{\pi n}{8}$.

Множество значений ($E(y)$):
Множество значений стандартной функции $y = \text{ctg}\,x$ — это множество всех действительных чисел, то есть интервал $(-\infty; +\infty)$.
Умножение аргумента на 8 приводит к горизонтальному сжатию графика функции в 8 раз, что изменяет ее период, но не влияет на множество принимаемых ею значений.
Следовательно, множество значений функции $y = \text{ctg}\,(8x)$ также является множеством всех действительных чисел.

Ответ: Область определения: $x \neq \frac{\pi n}{8}$, где $n \in \mathbb{Z}$. Множество значений: $(-\infty; +\infty)$.

б) Для функции $y = \text{ctg}\,(\frac{x}{2})$.

Область определения ($D(y)$):
По аналогии с предыдущим пунктом, функция не определена, когда ее аргумент $\alpha = \frac{x}{2}$ удовлетворяет условию $\alpha = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$\frac{x}{2} = \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Умножим обе части на 2, чтобы выразить $x$: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, за исключением чисел вида $2\pi n$.

Множество значений ($E(y)$):
Множество значений функции котангенса не зависит от линейных преобразований ее аргумента. Деление аргумента на 2 приводит к горизонтальному растяжению графика функции в 2 раза. Это изменяет период функции, но не ее множество значений.
Следовательно, множество значений функции $y = \text{ctg}\,(\frac{x}{2})$ совпадает с множеством значений стандартной функции котангенса и является множеством всех действительных чисел.

Ответ: Область определения: $x \neq 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Множество значений: $(-\infty; +\infty)$.