Номер 1.292, страница 85 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.292. С помощью графика функции $y = \text{ctg } x$ определите, верно ли, что:

а) при значении аргумента, равном $\pi$, значение функции равно 0;

б) число $\frac{5\pi}{2}$ является нулем функции;

в) $\text{ctg } \frac{3\pi}{4} = 1$.

Для определения истинности утверждений воспользуемся свойствами и графиком функции $y = \text{ctg } x$.

График функции $y = \text{ctg } x$ (котангенсоида) представляет собой совокупность бесконечных убывающих ветвей. Основные свойства, которые нам понадобятся:

• Область определения: все действительные числа $x$, кроме $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этих точках график функции имеет вертикальные асимптоты.
• Нули функции (точки, в которых график пересекает ось Ox): $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этих точках значение функции равно нулю.

Рассмотрим каждое утверждение по отдельности.

а) при значении аргумента, равном $\pi$, значение функции равно 0:
Это утверждение означает, что $\text{ctg}(\pi) = 0$. Однако, точка $x = \pi$ не входит в область определения функции $y = \text{ctg } x$, так как является точкой разрыва. Это следует из определения котангенса: $\text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x}$. При $x = \pi$ знаменатель $\sin(\pi) = 0$, что делает выражение неопределенным. На графике функции в точке $x=\pi$ проходит вертикальная асимптота, и значение функции там не определено.
Ответ: неверно.

б) число $\frac{5\pi}{2}$ является нулем функции:
Нуль функции — это значение аргумента, при котором значение функции равно нулю. Проверим, является ли $x = \frac{5\pi}{2}$ нулем для $y = \text{ctg } x$. Нули котангенса находятся по формуле $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — целое число. Проверим, можно ли представить $\frac{5\pi}{2}$ в этой форме для какого-либо целого $n$:$\frac{5\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$Разделим обе части на $\pi$:$\frac{5}{2} = \frac{1}{2} + n$$n = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Поскольку $n = 2$ является целым числом, точка $x = \frac{5\pi}{2}$ действительно является нулем функции. На графике в этой точке ветвь котангенсоиды пересекает ось абсцисс.
Ответ: верно.

в) $\text{ctg}\frac{3\pi}{4} = 1$:
Для проверки этого утверждения найдем значение $\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{4}\right)$. Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй координатной четверти, где значения котангенса отрицательны. На графике функции на интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ ветвь котангенсоиды лежит ниже оси абсцисс. Используя формулу приведения, получим точное значение:$\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \text{ctg}\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\text{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right)$. Так как $\text{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$, то $\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$. Поскольку $-1 \neq 1$, утверждение неверно.
Ответ: неверно.