Номер 1.286, страница 85 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.286. Верно ли, что нулями функции $f(x) = \operatorname{tg} x$ являются числа:

а) $2\pi$;

б) $\frac{5\pi}{2}$;

в) $-9\pi$;

г) $\frac{\pi}{2}$;

д) $-\frac{9\pi}{2}$;

е) $11\pi$?

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $f(x)$ равно нулю. Для функции $f(x) = \tg x$ мы ищем значения $x$, для которых $\tg x = 0$.

По определению тангенса $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Значит, нам нужно решить уравнение $\sin x = 0$ при условии $\cos x \neq 0$.

Решениями уравнения $\sin x = 0$ являются все числа вида $x = \pi n$, где $n$ – любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$). Для этих значений $x$ косинус $\cos(\pi n)$ принимает значения $1$ или $-1$, то есть не равен нулю. Таким образом, нулями функции $f(x) = \tg x$ являются все числа, кратные $\pi$.

Проверим каждое из предложенных чисел:

а) $2\pi$
Число $2\pi$ можно представить в виде $\pi \cdot 2$. Так как множитель $n=2$ является целым числом, $2\pi$ – это нуль функции.
Ответ: Верно.

б) $\frac{5\pi}{2}$
Чтобы проверить это число, найдем соответствующий множитель $n$: $\frac{5\pi}{2} = \pi \cdot n \implies n=\frac{5}{2}$. Выделим целую часть из этой неправильной дроби: $\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$. Так как $2\frac{1}{2}$ не целое число, данное число не является нулем функции.
Ответ: Неверно.

в) $-9\pi$
Число $-9\pi$ можно представить в виде $\pi \cdot (-9)$. Так как множитель $n=-9$ является целым числом, $-9\pi$ – это нуль функции.
Ответ: Верно.

г) $\frac{\pi}{2}$
Найдем множитель $n$: $\frac{\pi}{2} = \pi \cdot n \implies n=\frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{2}$ не целое число, данное число не является нулем функции.
Ответ: Неверно.

д) $-\frac{9\pi}{2}$
Найдем множитель $n$: $-\frac{9\pi}{2} = \pi \cdot n \implies n=-\frac{9}{2}$. Выделим целую часть из этой неправильной дроби: $-\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2}$. Так как $-4\frac{1}{2}$ не целое число, данное число не является нулем функции.
Ответ: Неверно.

е) $11\pi$
Число $11\pi$ можно представить в виде $\pi \cdot 11$. Так как множитель $n=11$ является целым числом, $11\pi$ – это нуль функции.
Ответ: Верно.