Номер 1.293, страница 85 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.293. Найдите несколько значений аргумента, при которых функция $y = \operatorname{ctg} x$ принимает значение, равное 1.

Для того чтобы найти значения аргумента $x$, при которых функция $y = \operatorname{ctg} x$ принимает значение, равное 1, необходимо решить тригонометрическое уравнение:

Общее решение данного уравнения находится по формуле для арккотангенса:

Для нашего случая $a=1$. Известно, что значение арккотангенса единицы равно $\operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$. Подставив это значение в общую формулу, получаем:

Теперь, чтобы найти несколько конкретных значений аргумента, будем подставлять в полученную формулу различные целые значения $n$.

При n=0:
Подставляем $n=0$ в общую формулу:$$ x = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{4} $$
Ответ: $ \frac{\pi}{4} $.

При n=1:
Подставляем $n=1$ в общую формулу:$$ x = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 1 = \frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} $$Так как дробь $\frac{5}{4}$ является неправильной, выделим из нее целую часть: $\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$.
Ответ: $ 1\frac{1}{4}\pi $.

При n=2:
Подставляем $n=2$ в общую формулу:$$ x = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 2 = \frac{\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} $$Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{9}{4}$: $\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$.
Ответ: $ 2\frac{1}{4}\pi $.

При n=-1:
Подставляем $n=-1$ в общую формулу:$$ x = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot (-1) = \frac{\pi}{4} - \pi = \frac{\pi}{4} - \frac{4\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} $$
Ответ: $ -\frac{3\pi}{4} $.