Номер 1.301, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.301. Расположите в порядке возрастания числа $ \operatorname{ctg} 1 $, $ \operatorname{ctg} 0.5 $ и $ \operatorname{ctg} 2 $.

Для того чтобы расположить числа $ \text{ctg}\,1 $, $ \text{ctg}\,0,5 $ и $ \text{ctg}\,2 $ в порядке возрастания, необходимо проанализировать свойства функции $ y = \text{ctg}\,x $ и определить, в каких четвертях тригонометрической окружности находятся углы, соответствующие этим значениям.

Аргументы тригонометрических функций (1, 0,5 и 2) даны в радианах, так как отсутствует знак градуса (°). Для сравнения будем использовать приближенные значения для $ \pi $ и $ \frac{\pi}{2} $:

• $ \pi \approx 3,14159... $
• $ \frac{\pi}{2} \approx 1,5708... $

Теперь определим положение каждого угла на тригонометрической окружности:

1. Анализ $ \text{ctg}\,0,5 $ и $ \text{ctg}\,1 $:

   Оба угла, 0,5 и 1 радиан, удовлетворяют неравенству $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $ (так как $ 0 < 0,5 < 1,57 $ и $ 0 < 1 < 1,57 $). Это означает, что оба угла находятся в I четверти. В этой четверти значения косинуса и синуса положительны, следовательно, их отношение, котангенс, также положителен.
   $ \text{ctg}\,0,5 > 0 $ и $ \text{ctg}\,1 > 0 $.

2. Анализ $ \text{ctg}\,2 $:

   Угол 2 радиана удовлетворяет неравенству $ \frac{\pi}{2} < x < \pi $ (так как $ 1,57 < 2 < 3,14 $). Этот угол находится во II четверти. В этой четверти косинус отрицателен, а синус положителен. Следовательно, котангенс будет отрицательным.
   $ \text{ctg}\,2 < 0 $.

Из этого следует, что $ \text{ctg}\,2 $ является наименьшим числом, так как оно единственное отрицательное.

Осталось сравнить два положительных числа: $ \text{ctg}\,0,5 $ и $ \text{ctg}\,1 $. Для этого воспользуемся свойством монотонности функции котангенса. Функция $ y = \text{ctg}\,x $ является строго убывающей на интервале $ (0, \pi) $, к которому принадлежат оба угла 0,5 и 1.

Сравним аргументы: $ 0,5 < 1 $.

Поскольку функция $ \text{ctg}\,x $ убывающая, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Таким образом, получаем:

$ \text{ctg}\,0,5 > \text{ctg}\,1 $.

Объединяя все полученные неравенства ($ \text{ctg}\,2 < 0 $, $ \text{ctg}\,1 > 0 $ и $ \text{ctg}\,1 < \text{ctg}\,0,5 $), мы можем расположить числа в порядке возрастания:

$ \text{ctg}\,2 < \text{ctg}\,1 < \text{ctg}\,0,5 $.

1.301. Ответ: $ \text{ctg}\,2, \text{ctg}\,1, \text{ctg}\,0,5 $.