Номер 1.276, страница 84 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.276. Используя свойства функции $y = \text{ctg} x$, сравните числа:

a) $\text{ctg} 20^\circ$ и $\text{ctg} 130^\circ$;

б) $\text{ctg}(-125^\circ)$ и $\text{ctg}(-100^\circ)$.

Для решения данной задачи необходимо использовать свойства функции $y = \text{ctg}(x)$, а именно её знаки в координатных четвертях, периодичность и монотонность.

а) Сравним числа $\text{ctg}(20^\circ)$ и $\text{ctg}(130^\circ)$.

Для этого определим, в каких координатных четвертях находятся углы $20^\circ$ и $130^\circ$ и какие знаки имеет котангенс в этих четвертях.

• Угол $20^\circ$ находится в I координатной четверти ($0^\circ < 20^\circ < 90^\circ$). В этой четверти котангенс имеет положительный знак. Следовательно, $\text{ctg}(20^\circ) > 0$.
• Угол $130^\circ$ находится во II координатной четверти ($90^\circ < 130^\circ < 180^\circ$). В этой четверти котангенс имеет отрицательный знак. Следовательно, $\text{ctg}(130^\circ) < 0$.

Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому:

$\text{ctg}(20^\circ) > \text{ctg}(130^\circ)$

Также можно применить свойство монотонности функции $y = \text{ctg}(x)$. Эта функция является строго убывающей на интервале $(0^\circ; 180^\circ)$. Оба угла, $20^\circ$ и $130^\circ$, принадлежат этому интервалу. Так как $20^\circ < 130^\circ$, то для значений функции выполняется обратное неравенство: $\text{ctg}(20^\circ) > \text{ctg}(130^\circ)$. Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\text{ctg}(20^\circ) > \text{ctg}(130^\circ)$.

б) Сравним числа $\text{ctg}(-125^\circ)$ и $\text{ctg}(-100^\circ)$.

Воспользуемся свойством монотонности функции $y = \text{ctg}(x)$. Функция котангенса является периодической с периодом $180^\circ$ и строго убывает на каждом интервале своей области определения вида $(180^\circ \cdot n; 180^\circ + 180^\circ \cdot n)$, где $n$ — любое целое число.

Найдем интервал, которому принадлежат оба угла: $-125^\circ$ и $-100^\circ$. Если взять $n=-1$, мы получим интервал $(-180^\circ; 0^\circ)$. Оба угла, $-125^\circ$ и $-100^\circ$, находятся внутри этого интервала.

На интервале $(-180^\circ; 0^\circ)$ функция $y = \text{ctg}(x)$ является строго убывающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сравним аргументы:

$-125^\circ < -100^\circ$

Так как функция на этом интервале убывает, для значений функции будет выполняться неравенство с противоположным знаком:

$\text{ctg}(-125^\circ) > \text{ctg}(-100^\circ)$

Альтернативно, можно было использовать свойство нечетности котангенса ($\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x)$) и свести задачу к сравнению $-\text{ctg}(125^\circ)$ и $-\text{ctg}(100^\circ)$. Это привело бы к тому же результату.

Ответ: $\text{ctg}(-125^\circ) > \text{ctg}(-100^\circ)$.