Номер 1.275, страница 84 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.275. Определите знак выражения $\text{ctg}\left(-\frac{5\pi}{7}\right) \cdot \text{ctg}\frac{13\pi}{7}$.

Чтобы определить знак выражения $ctg(-\frac{5\pi}{7}) \cdot ctg(\frac{13\pi}{7})$, необходимо найти знак каждого из множителей и затем определить знак их произведения.

1. Определение знака $ctg(-\frac{5\pi}{7})$

Функция котангенса является нечетной, это значит, что для любого угла $x$ выполняется равенство $ctg(-x) = -ctg(x)$. Применим это свойство:

$ctg(-\frac{5\pi}{7}) = -ctg(\frac{5\pi}{7})$

Теперь определим, в какой координатной четверти находится угол $\frac{5\pi}{7}$. Для этого сравним его с границами четвертей, выраженными через знаменатель 7:

$\frac{\pi}{2} = \frac{3.5\pi}{7}$ и $\pi = \frac{7\pi}{7}$

Поскольку выполняется неравенство $\frac{3.5\pi}{7} < \frac{5\pi}{7} < \frac{7\pi}{7}$, угол $\frac{5\pi}{7}$ находится во II четверти.

Во II четверти значения котангенса отрицательны, то есть $ctg(\frac{5\pi}{7}) < 0$.

Следовательно, выражение $-ctg(\frac{5\pi}{7})$ будет положительным, так как это отрицательное число, взятое со знаком "минус".

Таким образом, первый множитель $ctg(-\frac{5\pi}{7})$ имеет знак "плюс" (+).

2. Определение знака $ctg(\frac{13\pi}{7})$

Для определения знака второго множителя упростим угол $\frac{13\pi}{7}$. Представим неправильную дробь в виде смешанного числа, выделив целую часть:

$\frac{13\pi}{7} = \mathbf{1}\frac{6}{7}\pi = \pi + \frac{6\pi}{7}$

Период функции котангенс равен $\pi$, поэтому $ctg(x + \pi n) = ctg(x)$ для любого целого $n$. В нашем случае $n=1$.

$ctg(\frac{13\pi}{7}) = ctg(\pi + \frac{6\pi}{7}) = ctg(\frac{6\pi}{7})$

Теперь определим, в какой координатной четверти находится угол $\frac{6\pi}{7}$. Сравним его с границами четвертей:

$\frac{\pi}{2} = \frac{3.5\pi}{7}$ и $\pi = \frac{7\pi}{7}$

Поскольку выполняется неравенство $\frac{3.5\pi}{7} < \frac{6\pi}{7} < \frac{7\pi}{7}$, угол $\frac{6\pi}{7}$ также находится во II четверти.

Во II четверти значения котангенса отрицательны.

Таким образом, второй множитель $ctg(\frac{13\pi}{7})$ имеет знак "минус" (-).

3. Определение знака всего выражения

Чтобы найти знак исходного выражения, перемножим знаки множителей:

Знак ($ctg(-\frac{5\pi}{7})$) $\cdot$ Знак ($ctg(\frac{13\pi}{7})$) = $(+) \cdot (-) = (-)$

Произведение положительного и отрицательного чисел всегда отрицательно.

Ответ: знак выражения отрицательный.