Номер 1.268, страница 84 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.268. Найдите область определения и множество значений функции:

a) $y = \operatorname{ctg} 5x$;

б) $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{3}$.

a) Для функции $y = \text{ctg}(5x)$ найдем область определения и множество значений.

Область определения (D(y)):
Функция котангенса $\text{ctg}(u)$ определена для всех значений своего аргумента $u$, за исключением тех, в которых $\sin(u) = 0$. Это происходит, когда $u = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
В нашем случае аргумент функции $u = 5x$. Поэтому, чтобы функция была определена, должно выполняться условие:
$5x \neq \pi k$
Решая это неравенство относительно $x$, получаем:
$x \neq \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, за исключением точек вида $\frac{\pi k}{5}$.

Множество значений (E(y)):
Множество значений стандартной функции $y = \text{ctg}(u)$ — это все действительные числа, то есть интервал $(-\infty; +\infty)$. Умножение аргумента на константу (в данном случае на 5) приводит к горизонтальному сжатию графика функции, что изменяет ее период, но не влияет на множество принимаемых ею значений.
Поэтому множество значений функции $y = \text{ctg}(5x)$ также является множеством всех действительных чисел.

Ответ: Область определения: $x \neq \frac{\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$. Множество значений: $(-\infty; +\infty)$.

б) Для функции $y = \text{ctg}\frac{x}{3}$ найдем область определения и множество значений.

Область определения (D(y)):
Аналогично предыдущему пункту, функция котангенса не определена, когда ее аргумент равен $\pi k$ для любого целого $k$.
В данном случае аргумент $u = \frac{x}{3}$. Условие существования функции:
$\frac{x}{3} \neq \pi k$
Умножив обе части на 3, найдем ограничение для $x$:
$x \neq 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Следовательно, область определения — это все действительные числа, за исключением точек вида $3\pi k$.

Множество значений (E(y)):
Как и в предыдущем случае, множество значений функции котангенса не изменяется при линейном преобразовании ее аргумента. Деление аргумента на 3 приводит к горизонтальному растяжению графика, но не меняет вертикальный диапазон значений.
Таким образом, множество значений функции $y = \text{ctg}\frac{x}{3}$ — это множество всех действительных чисел.

Ответ: Область определения: $x \neq 3\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Множество значений: $(-\infty; +\infty)$.