Номер 1.263, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.263. Расположите в порядке возрастания числа $\text{tg}(-0,5)$, $\text{tg } 1,4$ и $\text{tg } 0,3$.

Для того чтобы расположить числа $\tan(-0,5)$, $\tan(1,4)$ и $\tan(0,3)$ в порядке возрастания, необходимо проанализировать свойство монотонности функции $y = \tan(x)$.

Функция $y = \tan(x)$ является строго возрастающей на интервалах вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k$ — любое целое число. Это означает, что если $x_1 < x_2$ и оба аргумента лежат в одном таком интервале, то $\tan(x_1) < \tan(x_2)$.

Рассмотрим основной интервал возрастания при $k=0$, то есть $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Оценим его числовые границы, используя приближенное значение $\pi \approx 3,14159$:

$\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14159}{2} \approx 1,5708$

Таким образом, интервал возрастания, который мы рассматриваем, — это примерно $(-1,5708; 1,5708)$.

Проверим, входят ли заданные аргументы ($-0,5$, $1,4$ и $0,3$) в этот интервал:

• $-1,5708 < -0,5 < 1,5708$
• $-1,5708 < 1,4 < 1,5708$
• $-1,5708 < 0,3 < 1,5708$

Все три аргумента принадлежат одному и тому же интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, на котором функция $y = \tan(x)$ строго возрастает.

Теперь расположим сами аргументы в порядке возрастания:

$-0,5 < 0,3 < 1,4$

Поскольку функция возрастает на данном интервале, порядок значений тангенсов будет таким же, как и порядок их аргументов.

$\tan(-0,5) < \tan(0,3) < \tan(1,4)$

Расположение чисел в порядке возрастания Ответ: $\tan(-0,5), \tan(0,3), \tan(1,4)$.