Номер 1.265, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.265. Верно ли, что график функции $y = \operatorname{ctg}x$ проходит через точку:

а) $A(\frac{\pi}{2}; 0)$;

б) $B(\frac{\pi}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$;

в) $C(-\frac{\pi}{4}; 1)$;

г) $D(\pi; -1)$?

Чтобы определить, проходит ли график функции $y = \text{ctg}\,x$ через заданную точку, необходимо подставить координаты точки $(x_0, y_0)$ в уравнение функции. Если равенство $y_0 = \text{ctg}\,x_0$ окажется верным, то точка принадлежит графику функции.

Подставим абсциссу точки $x = \frac{\pi}{2}$ в уравнение функции $y = \text{ctg}\,x$, чтобы найти соответствующую ординату:

$y = \text{ctg}(\frac{\pi}{2}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0$.

Вычисленное значение ординаты ($y=0$) совпадает с ординатой точки A. Следовательно, график функции проходит через точку A.

Ответ: Да.

Подставим абсциссу точки $x = \frac{\pi}{3}$ в уравнение функции:

$y = \text{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{3})}{\sin(\frac{\pi}{3})} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Вычисленное значение ординаты ($y=\frac{\sqrt{3}}{3}$) совпадает с ординатой точки B. Следовательно, график функции проходит через точку B.

Ответ: Да.

Подставим абсциссу точки $x = -\frac{\pi}{4}$ в уравнение функции. Учитывая, что котангенс — нечетная функция ($\text{ctg}(-z) = -\text{ctg}(z)$):

$y = \text{ctg}(-\frac{\pi}{4}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = -1$.

Вычисленное значение ординаты ($y=-1$) не совпадает с ординатой точки C ($y=1$). Следовательно, график функции не проходит через точку C.

Ответ: Нет.

Попытаемся подставить абсциссу точки $x = \pi$ в уравнение функции:

$y = \text{ctg}(\pi) = \frac{\cos(\pi)}{\sin(\pi)} = \frac{-1}{0}$.

Данное выражение не определено, так как в знаменателе находится ноль. Это означает, что точка $x=\pi$ не входит в область определения функции $y=\text{ctg}\,x$. График функции в этой точке имеет вертикальную асимптоту.

Следовательно, график функции не может проходить через точку D.

Ответ: Нет.