Номер 1.271, страница 84 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.271. Используя свойства функции $f(x) = \text{ctg}x$, найдите:

а) $f\left(-\frac{49\pi}{2}\right)$;

б) $f\left(-\frac{37\pi}{6}\right)$;

в) $f\left(-\frac{9\pi}{4}\right)$.

Для решения данной задачи мы будем использовать свойства функции $f(x) = \text{ctg}\,x$. Основными свойствами, которые нам понадобятся, являются:

1. Нечетность функции: $\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x)$. Это означает, что функция симметрична относительно начала координат.
2. Периодичность функции: $\text{ctg}(x + \pi n) = \text{ctg}(x)$, где $n$ — любое целое число. Наименьший положительный период функции котангенс равен $\pi$.

Приступим к вычислению значений функции для каждого из заданных аргументов.

а) Найдем значение $f(-\frac{49\pi}{2})$.

$f(-\frac{49\pi}{2}) = \text{ctg}(-\frac{49\pi}{2})$

В силу нечетности функции котангенс:

$\text{ctg}(-\frac{49\pi}{2}) = -\text{ctg}(\frac{49\pi}{2})$

Чтобы упростить аргумент, выделим из неправильной дроби $\frac{49}{2}$ целую часть:

$\frac{49\pi}{2} = (24 + \frac{1}{2})\pi = 24\pi + \frac{\pi}{2}$

Теперь используем свойство периодичности, где $n=24$:

$-\text{ctg}(\frac{49\pi}{2}) = -\text{ctg}(24\pi + \frac{\pi}{2}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{2})$

Значение котангенса в точке $\frac{\pi}{2}$ равно 0.

$-\text{ctg}(\frac{\pi}{2}) = -0 = 0$

Ответ: 0.

б) Найдем значение $f(-\frac{37\pi}{6})$.

$f(-\frac{37\pi}{6}) = \text{ctg}(-\frac{37\pi}{6})$

Используем свойство нечетности:

$\text{ctg}(-\frac{37\pi}{6}) = -\text{ctg}(\frac{37\pi}{6})$

Выделим целую часть из дроби в аргументе:

$\frac{37\pi}{6} = (6 + \frac{1}{6})\pi = 6\pi + \frac{\pi}{6}$

Применим свойство периодичности, где $n=6$:

$-\text{ctg}(\frac{37\pi}{6}) = -\text{ctg}(6\pi + \frac{\pi}{6}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{6})$

Табличное значение котангенса для $\frac{\pi}{6}$ равно $\sqrt{3}$.

$-\text{ctg}(\frac{\pi}{6}) = -\sqrt{3}$

Ответ: $-\sqrt{3}$.

в) Найдем значение $f(-\frac{9\pi}{4})$.

$f(-\frac{9\pi}{4}) = \text{ctg}(-\frac{9\pi}{4})$

По свойству нечетности:

$\text{ctg}(-\frac{9\pi}{4}) = -\text{ctg}(\frac{9\pi}{4})$

Выделим целую часть из дроби в аргументе:

$\frac{9\pi}{4} = (2 + \frac{1}{4})\pi = 2\pi + \frac{\pi}{4}$

Используя периодичность, где $n=2$:

$-\text{ctg}(\frac{9\pi}{4}) = -\text{ctg}(2\pi + \frac{\pi}{4}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{4})$

Табличное значение котангенса для $\frac{\pi}{4}$ равно 1.

$-\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = -1$

Ответ: -1.