Номер 1.266, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.266. С помощью графика функции $y = ctgx$ определите, верно ли, что:

a) при значении аргумента, равном $\frac{3\pi}{2}$, значение функции равно 0;

б) числа $-2\pi$; $\pi$ являются нулями функции;

в) $ctg\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами и графиком функции $y = \text{ctg } x$.

График функции котангенса, $y = \text{ctg } x$, представляет собой совокупность убывающих ветвей.

• Нули функции (точки пересечения с осью Ox) находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число. В этих точках значение функции равно 0.
• Вертикальные асимптоты (линии, к которым стремится график, но не пересекает их) находятся в точках $x = \pi k$, где $k$ - любое целое число. В этих точках функция не определена.
• Нечетность функции: $\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x)$ для всех $x$ из области определения.

Проверим каждое утверждение:

а) при значении аргумента, равном $\frac{3\pi}{2}$, значение функции равно 0;
Нужно проверить, является ли $x = \frac{3\pi}{2}$ нулем функции $y = \text{ctg } x$.
Нули функции имеют вид $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.
Подставим $k=1$:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 1 = \frac{\pi + 2\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.
Так как точка $x = \frac{3\pi}{2}$ соответствует формуле для нулей функции, то в этой точке график пересекает ось Ox, и значение функции равно 0.
Следовательно, утверждение верно.
Ответ: верно.

б) числа $-2\pi; \pi$ являются нулями функции;
Нужно проверить, являются ли $x_1 = -2\pi$ и $x_2 = \pi$ нулями функции.
Как было сказано выше, нули функции находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.
Точки вида $x = \pi k$ (при $k=-2$ получаем $x = -2\pi$, при $k=1$ получаем $x = \pi$) являются точками, в которых находятся вертикальные асимптоты графика функции $y = \text{ctg } x$. В этих точках функция не определена, а не равна нулю.
Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: неверно.

в) $\text{ctg}(-\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
Воспользуемся свойством нечетности котангенса: $\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x)$.
$\text{ctg}(-\frac{\pi}{3}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{3})$.
Значение котангенса для $\frac{\pi}{3}$ (или 60°) является табличным: $\text{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Таким образом, $\text{ctg}(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Утверждение гласит, что $\text{ctg}(-\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
Поскольку $-\frac{\sqrt{3}}{3} \neq \sqrt{3}$, утверждение неверно.
Также, если посмотреть на график, в точке $x = -\frac{\pi}{3}$ (которая находится между $-\frac{\pi}{2}$ и 0) значение функции отрицательно, а $\sqrt{3}$ - положительное число.
Ответ: неверно.