Номер 1.260, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.260. Верно ли, что $tgx > 0$, если:

а) $x \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right);$

б) $x \in \left(-\frac{5\pi}{2}; -2\pi\right);$

в) $x \in \left(\frac{5\pi}{2}; 3\pi\right);$

г) $x \in \left(-\pi; -\frac{\pi}{2}\right)?$

Для того чтобы определить, верно ли неравенство $\operatorname{tg} x > 0$ на заданных интервалах, необходимо проанализировать, в каких координатных четвертях лежат углы из этих интервалов. Функция тангенса положительна в I и III четвертях, где знаки функций синуса и косинуса совпадают.

• а) $x \in (0; \frac{\pi}{2});$

  Интервал $(0; \frac{\pi}{2})$ соответствует I координатной четверти. В этой четверти $\operatorname{sin} x > 0$ и $\operatorname{cos} x > 0$. Так как тангенс является отношением синуса к косинусу ($\operatorname{tg} x = \frac{\operatorname{sin} x}{\operatorname{cos} x}$), то для данного интервала $\operatorname{tg} x > 0$.

  Ответ: Верно.

• б) $x \in (-\frac{5\pi}{2}; -2\pi);$

  Для анализа данного интервала удобно привести его к основному промежутку. Граница $-\frac{5\pi}{2}$ является неправильной дробью, выделим целую часть: $-\frac{5\pi}{2} = -2 \frac{1}{2}\pi$. Интервал имеет вид $(-2 \frac{1}{2}\pi; -2\pi)$. В силу периодичности тригонометрических функций (период тангенса $\pi$), мы можем прибавить к границам интервала $2\pi$ (один полный оборот), чтобы работать с более привычными значениями: $(-\frac{5\pi}{2} + 2\pi; -2\pi + 2\pi) = (-\frac{\pi}{2}; 0)$. Этот интервал соответствует IV координатной четверти. В IV четверти $\operatorname{sin} x < 0$, а $\operatorname{cos} x > 0$, следовательно, их отношение $\operatorname{tg} x$ будет отрицательным.

  Ответ: Неверно.

• в) $x \in (\frac{5\pi}{2}; 3\pi);$

  Выделим целую часть в неправильной дроби $\frac{5\pi}{2} = 2 \frac{1}{2}\pi$. Интервал имеет вид $(2 \frac{1}{2}\pi; 3\pi)$. Вычтем из границ $2\pi$, чтобы перейти к основному промежутку: $(\frac{5\pi}{2} - 2\pi; 3\pi - 2\pi) = (\frac{\pi}{2}; \pi)$. Этот интервал соответствует II координатной четверти. Во II четверти $\operatorname{sin} x > 0$, а $\operatorname{cos} x < 0$, поэтому $\operatorname{tg} x$ будет отрицательным.

  Ответ: Неверно.

• г) $x \in (-\pi; -\frac{\pi}{2})?$

  Интервал $(-\pi; -\frac{\pi}{2})$ соответствует III координатной четверти (движение от $-180^\circ$ до $-90^\circ$ по часовой стрелке). В III четверти и синус, и косинус отрицательны: $\operatorname{sin} x < 0$ и $\operatorname{cos} x < 0$. Отношение двух отрицательных величин является положительным, поэтому $\operatorname{tg} x > 0$.

  Ответ: Верно.