Номер 1.277, страница 84 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.277. Расположите в порядке убывания числа $\operatorname{ctg} 1$, $\operatorname{ctg} 3$ и $\operatorname{ctg} 2$.

Для того чтобы расположить числа $\text{ctg } 1$, $\text{ctg } 2$ и $\text{ctg } 3$ в порядке убывания, необходимо проанализировать значения этих выражений. Аргументы тригонометрических функций (1, 2 и 3) следует рассматривать как углы в радианах.

Воспользуемся свойствами функции $y = \text{ctg } x$. Эта функция является периодической с периодом $\pi$ и убывает на каждом интервале своей области определения вида $(k\pi, (k+1)\pi)$, где $k$ — целое число.

Сначала определим знаки каждого из чисел, сравнив их аргументы с ключевыми значениями, такими как $0$, $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$.

Определение знака $\text{ctg } 1$:
Поскольку $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$ (так как $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$), угол в 1 радиан находится в I четверти координатной плоскости. В этой четверти значения котангенса положительны. Следовательно, $\text{ctg } 1 > 0$.

Определение знаков $\text{ctg } 2$ и $\text{ctg } 3$:
Аргументы 2 и 3 находятся в интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, так как $1.57 < 2 < 3.14159$ и $1.57 < 3 < 3.14159$. Этот интервал соответствует II четверти, где котангенс принимает отрицательные значения. Таким образом, $\text{ctg } 2 < 0$ и $\text{ctg } 3 < 0$.

На данном этапе мы установили, что $\text{ctg } 1$ — единственное положительное число, а значит, оно является наибольшим из трех.

Теперь необходимо сравнить два отрицательных числа: $\text{ctg } 2$ и $\text{ctg } 3$. Оба аргумента, 2 и 3, принадлежат интервалу $(0, \pi)$, на котором функция $y = \text{ctg } x$ является строго убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Поскольку $2 < 3$, из свойства убывания котангенса на данном интервале следует, что $\text{ctg } 2 > \text{ctg } 3$.

Сопоставив все полученные результаты, выстраиваем итоговую цепочку неравенств: $\text{ctg } 1 > \text{ctg } 2 > \text{ctg } 3$.

Следовательно, искомый порядок чисел по убыванию: $\text{ctg } 1$, $\text{ctg } 2$, $\text{ctg } 3$.

Ответ: $\text{ctg } 1, \text{ctg } 2, \text{ctg } 3$.