Номер 1.248, страница 75 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.248. Исследуйте на четность (нечетность) функцию $y = \frac{x^2-1}{x}$.

Чтобы исследовать функцию на четность или нечетность, нужно проверить, выполняются ли для нее соответствующие условия. Напомним определения:

• Функция $f(x)$ называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
• Функция $f(x)$ называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Рассмотрим заданную функцию $y = f(x) = \frac{x^2 - 1}{x}$. Исследование можно провести двумя способами.

Способ 1: Прямая проверка по определению

1. Находим область определения функции.

   Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю. $x \neq 0$ Следовательно, область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат, что позволяет продолжить исследование.

2. Находим значение $f(-x)$.

   Для этого подставляем $-x$ вместо $x$ в формулу функции: $f(-x) = \frac{(-x)^2 - 1}{-x}$ Упрощаем выражение: $f(-x) = \frac{x^2 - 1}{-x} = -\frac{x^2 - 1}{x}$

3. Сравниваем $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$.

   Исходная функция: $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x}$.

   Мы получили: $f(-x) = -\frac{x^2 - 1}{x}$.

   Найдем $-f(x)$: $-f(x) = - \left( \frac{x^2 - 1}{x} \right) = -\frac{x^2 - 1}{x}$.

   Как видим, выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Способ 2: Анализ компонентов функции

1. Преобразуем функцию, выделив целую часть.

   Разделим числитель на знаменатель почленно: $y = \frac{x^2 - 1}{x} = \frac{x^2}{x} - \frac{1}{x} = x - \frac{1}{x}$ Таким образом, мы представили исходную функцию в виде суммы двух функций: $g(x) = x$ и $h(x) = -\frac{1}{x}$.

2. Исследуем на четность каждую из функций-слагаемых.
   • Функция $g(x) = x$: $g(-x) = -x = -g(x)$. Следовательно, $g(x)$ — нечетная функция.
   • Функция $h(x) = -\frac{1}{x}$: $h(-x) = -\frac{1}{-x} = \frac{1}{x} = - \left( -\frac{1}{x} \right) = -h(x)$. Следовательно, $h(x)$ — также нечетная функция.
3. Делаем вывод на основе свойств четности функций.

   Сумма двух нечетных функций является нечетной функцией. Поскольку $f(x) = g(x) + h(x)$, где и $g(x)$, и $h(x)$ нечетные, то и функция $f(x)$ является нечетной.

Оба способа приводят к одному и тому же заключению.

Ответ: Функция $y = \frac{x^2 - 1}{x}$ является нечетной.