Номер 1.241, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.241. Постройте график функции $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$. Пользуясь графиком, определите:

а) нули функции;

б) промежутки убывания и возрастания функции;

в) наибольшее и наименьшее значения функции и значения аргумента, при которых они достигаются;

г) промежутки знакопостоянства функции.

График функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{6})$ строится на основе графика функции $y = \cos(x)$. Это преобразование является параллельным переносом (сдвигом) графика $y = \cos(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox) на $\frac{\pi}{6}$ единиц влево.

Основные свойства функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{6})$ определяются на основе этого сдвига.

а) нули функции; Ответ:
Нули функции – это точки пересечения графика с осью Ox, где $y=0$.
$\cos(x + \frac{\pi}{6}) = 0$
Аргумент косинуса должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi k$
$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \pi k$
$x = \frac{3\pi - \pi}{6} + \pi k = \frac{2\pi}{6} + \pi k$
$x = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

б) промежутки убывания и возрастания функции; Ответ:
Базовая функция $y=\cos(t)$ убывает на отрезках $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$ и возрастает на $[\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k]$. Для нашей функции $t = x + \frac{\pi}{6}$.

• Промежутки убывания:
  $2\pi k \le x + \frac{\pi}{6} \le \pi + 2\pi k$
  $2\pi k - \frac{\pi}{6} \le x \le \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
  Функция убывает на промежутках $[-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k], \quad k \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки возрастания:
  $\pi + 2\pi k \le x + \frac{\pi}{6} \le 2\pi + 2\pi k$
  $\pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le 2\pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
  $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$
  Функция возрастает на промежутках $[\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \boldsymbol{1}\frac{5\pi}{6} + 2\pi k], \quad k \in \mathbb{Z}$.

в) наибольшее и наименьшее значения функции и значения аргумента, при которых они достигаются; Ответ:
Область значений функции косинус – отрезок $[-1, 1]$.

• Наибольшее значение: $y_{max} = 1$.
  Оно достигается, когда $\cos(x + \frac{\pi}{6}) = 1$.
  $x + \frac{\pi}{6} = 2\pi k$
  $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.
• Наименьшее значение: $y_{min} = -1$.
  Оно достигается, когда $\cos(x + \frac{\pi}{6}) = -1$.
  $x + \frac{\pi}{6} = \pi + 2\pi k$
  $x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
  $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

г) промежутки знакопостоянства функции. Ответ:

• Функция положительна ($y > 0$):
  $\cos(x + \frac{\pi}{6}) > 0$
  $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x + \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
  $-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
  $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
  Функция положительна на интервалах $(-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k), \quad k \in \mathbb{Z}$.
• Функция отрицательна ($y < 0$):
  $\cos(x + \frac{\pi}{6}) < 0$
  $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x + \frac{\pi}{6} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$
  $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
  $\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$
  Функция отрицательна на интервалах $(\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \boldsymbol{1}\frac{\pi}{3} + 2\pi k), \quad k \in \mathbb{Z}$.