Номер 1.234, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

Для сравнения значения выражения с нулем необходимо определить знак функции косинуса для заданного угла. Знак косинуса зависит от того, в какой координатной четверти находится угол:

• $cos(\alpha) > 0$ в I и IV четвертях (т.е. для $\alpha \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$)
• $cos(\alpha) < 0$ во II и III четвертях (т.е. для $\alpha \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$)

Функция косинуса является четной, то есть $cos(-x) = cos(x)$. Поэтому, $cos(-\frac{\pi}{5}) = cos(\frac{\pi}{5})$.
Угол $\frac{\pi}{5}$ находится в I координатной четверти, так как $0 < \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$.
В этой четверти косинус положителен.

Ответ: $cos(-\frac{\pi}{5}) > 0$.

Угол $\frac{5\pi}{6}$ находится во II координатной четверти, так как $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi$.
В этой четверти косинус отрицателен.

Ответ: $cos(\frac{5\pi}{6}) < 0$.

Так как косинус — четная функция, $cos(-\frac{7\pi}{8}) = cos(\frac{7\pi}{8})$.
Угол $\frac{7\pi}{8}$ находится во II координатной четверти, так как $\frac{\pi}{2} < \frac{7\pi}{8} < \pi$.
В этой четверти косинус отрицателен.

Ответ: $cos(-\frac{7\pi}{8}) < 0$.

Для определения знака приведем угол к значению в пределах от $0$ до $2\pi$. Для этого выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{15}{7}$: $\frac{15}{7} = \mathbf{2}\frac{1}{7}$.
Таким образом, $\frac{15\pi}{7} = (\mathbf{2}+\frac{1}{7})\pi = 2\pi + \frac{\pi}{7}$.
Используя периодичность косинуса ($cos(x + 2\pi k) = cos(x)$), получаем:
$cos(\frac{15\pi}{7}) = cos(2\pi + \frac{\pi}{7}) = cos(\frac{\pi}{7})$.
Угол $\frac{\pi}{7}$ находится в I координатной четверти ($0 < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$), где косинус положителен.

Ответ: $cos(\frac{15\pi}{7}) > 0$.