Номер 1.228, страница 73 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.228. Используя свойство периодичности функции $f(x) = \cos x$, докажите, что $\cos (-123^{\circ}) = \cos 237^{\circ}$.

Для доказательства равенства $\cos(-123^\circ) = \cos(237^\circ)$ необходимо воспользоваться свойством периодичности функции косинус.

Функция $f(x) = \cos x$ является периодической. Её основной (наименьший положительный) период равен $T = 360^\circ$ (или $2\pi$ радиан). Свойство периодичности функции косинус формулируется следующим образом: для любого угла $\alpha$ и любого целого числа $k$ (где $k \in \mathbb{Z}$) справедливо тождество:

$\cos(\alpha) = \cos(\alpha + T \cdot k) = \cos(\alpha + 360^\circ \cdot k)$

Это означает, что значения функции косинус повторяются через каждый полный оборот ($360^\circ$), и мы можем прибавлять или вычитать из аргумента функции любое целое число периодов, не изменяя значения самой функции.

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства, то есть $\cos(-123^\circ)$. Применим к ней свойство периодичности, выбрав $k=1$. Это означает, что мы прибавим к аргументу функции один полный период $360^\circ$.

$\cos(-123^\circ) = \cos(-123^\circ + 1 \cdot 360^\circ)$

Выполним вычисление в аргументе функции:

$-123^\circ + 360^\circ = 237^\circ$

Подставив полученное значение обратно в выражение, получаем:

$\cos(-123^\circ) = \cos(237^\circ)$

Таким образом, мы преобразовали левую часть исходного выражения в правую, используя свойство периодичности функции косинус. Следовательно, равенство является верным. Что и требовалось доказать.