Номер 1.227, страница 73 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.227. Используя свойство периодичности функции $f(x) = \cos x$, найдите:

а) $ \cos \frac{13\pi}{6}; $

б) $ \cos \frac{19\pi}{3}; $

в) $ \cos \frac{33\pi}{4}; $

г) $ \cos 11\pi. $

Для решения задачи используется свойство периодичности функции косинуса: $\cos(x + 2\pi k) = \cos x$, где $k$ — любое целое число. Это позволяет упростить аргумент, отбросив целое число полных оборотов $2\pi$.

Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{13}{6}$:
$\frac{13}{6} = \mathbf{2}\frac{1}{6}$
Следовательно, аргумент можно представить в виде: $\frac{13\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}$.
Используя периодичность, отбрасываем полный оборот $2\pi$:
$\cos \frac{13\pi}{6} = \cos(2\pi + \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Выделим целую часть из дроби $\frac{19}{3}$:
$\frac{19}{3} = \mathbf{6}\frac{1}{3}$
Представим аргумент: $\frac{19\pi}{3} = 6\pi + \frac{\pi}{3}$.
Так как $6\pi = 3 \cdot 2\pi$, отбрасываем три полных периода:
$\cos \frac{19\pi}{3} = \cos(6\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

Выделим целую часть из дроби $\frac{33}{4}$:
$\frac{33}{4} = \mathbf{8}\frac{1}{4}$
Представим аргумент: $\frac{33\pi}{4} = 8\pi + \frac{\pi}{4}$.
Так как $8\pi = 4 \cdot 2\pi$, отбрасываем четыре полных периода:
$\cos \frac{33\pi}{4} = \cos(8\pi + \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Выделим из аргумента $11\pi$ четное число $\pi$, кратное периоду $2\pi$:
$11\pi = 10\pi + \pi$.
Здесь $10\pi$ — это $\mathbf{5}$ полных периодов ($5 \cdot 2\pi$). Отбрасываем их:
$\cos(11\pi) = \cos(10\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1$.
Ответ: $-1$