Номер 1.220, страница 73 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.220. Постройте график функции:

а) $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right);$

б) $y = \sin x - 3;$

в) $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + 2.$

Для построения графиков данных функций мы будем использовать метод преобразования графика базовой функции $y=\sin x$.

а) $y = \sin(x + \frac{\pi}{3})$

График данной функции можно получить из графика функции $y=\sin x$ путем его сдвига (параллельного переноса).

Общий вид функции со сдвигом по фазе: $y=\sin(x-a)$. Если $a > 0$, сдвиг происходит вправо, если $a < 0$ — влево.

В нашем случае функция имеет вид $y = \sin(x - (-\frac{\pi}{3}))$. Здесь $a = -\frac{\pi}{3}$, что означает, что график функции $y=\sin x$ необходимо сдвинуть влево вдоль оси абсцисс (Ох) на $\frac{\pi}{3}$ единиц.

Порядок построения:

1. Строим график основной функции $y=\sin x$. Это синусоида, проходящая через начало координат, с периодом $2\pi$ и амплитудой 1. Ключевые точки на одном периоде:
   • Нули функции (пересечение с осью Ox): $(0, 0)$, $(\pi, 0)$, $(2\pi, 0)$.
   • Точка максимума: $(\frac{\pi}{2}, 1)$.
   • Точка минимума: $(\frac{3\pi}{2}, -1)$.
2. Сдвигаем каждую ключевую точку графика $y=\sin x$ влево на $\frac{\pi}{3}$. Координаты новых точек $(x', y')$ будут равны $(x - \frac{\pi}{3}, y)$:
   • Нули новой функции: $(0-\frac{\pi}{3}, 0) \rightarrow (-\frac{\pi}{3}, 0)$; $(\pi-\frac{\pi}{3}, 0) \rightarrow (\frac{2\pi}{3}, 0)$; $(2\pi-\frac{\pi}{3}, 0) \rightarrow (\frac{5\pi}{3}, 0)$, или $(1\frac{2}{3}\pi, 0)$.
   • Точка максимума: $(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}, 1) \rightarrow (\frac{3\pi-2\pi}{6}, 1) \rightarrow (\frac{\pi}{6}, 1)$.
   • Точка минимума: $(\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{3}, -1) \rightarrow (\frac{9\pi-2\pi}{6}, -1) \rightarrow (\frac{7\pi}{6}, -1)$, или $(1\frac{1}{6}\pi, -1)$.
3. Соединяем полученные точки плавной линией, сохраняя форму синусоиды.

Ответ: График функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{3})$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем параллельного переноса вдоль оси Ох на $\frac{\pi}{3}$ влево.

б) $y = \sin x - 3$

График данной функции можно получить из графика функции $y=\sin x$ путем его сдвига по вертикали.

Общий вид функции с вертикальным сдвигом: $y=f(x)+b$. Если $b > 0$, сдвиг происходит вверх, если $b < 0$ — вниз.

В нашем случае $b = -3$, что означает, что график функции $y=\sin x$ необходимо сдвинуть вниз вдоль оси ординат (Оy) на 3 единицы.

Порядок построения:

1. Строим график основной функции $y=\sin x$.
2. Сдвигаем каждую точку графика $y=\sin x$ вниз на 3 единицы. Координаты новых точек $(x', y')$ будут равны $(x, y - 3)$:
   • Точки на новой оси колебаний ($y=-3$): $(0, 0-3) \rightarrow (0, -3)$; $(\pi, 0-3) \rightarrow (\pi, -3)$; $(2\pi, 0-3) \rightarrow (2\pi, -3)$.
   • Точка максимума: $(\frac{\pi}{2}, 1-3) \rightarrow (\frac{\pi}{2}, -2)$.
   • Точка минимума: $(\frac{3\pi}{2}, -1-3) \rightarrow (\frac{3\pi}{2}, -4)$, или $(1\frac{1}{2}\pi, -4)$.
3. Соединяем полученные точки плавной линией. Амплитуда (1) и период ($2\pi$) функции не изменяются. Область значений функции становится $[-4, -2]$.

Ответ: График функции $y = \sin x - 3$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем параллельного переноса вдоль оси Оy на 3 единицы вниз.

в) $y = \sin(x + \frac{\pi}{6}) + 2$

График этой функции получается из графика $y=\sin x$ путем двух преобразований: сдвига по горизонтали и сдвига по вертикали.

Функция вида $y = \sin(x-a)+b$ получается сдвигом графика $y=\sin x$ на $a$ единиц по горизонтали и на $b$ единиц по вертикали.

В нашем случае $a = -\frac{\pi}{6}$ и $b=2$. Это означает, что график $y=\sin x$ нужно сдвинуть влево на $\frac{\pi}{6}$ единиц и вверх на 2 единицы. Порядок этих преобразований не имеет значения.

Порядок построения:

1. Строим график основной функции $y=\sin x$.
2. Выполняем параллельный перенос каждой точки графика $y=\sin x$ на вектор $(-\frac{\pi}{6}, 2)$, то есть сдвигаем влево на $\frac{\pi}{6}$ и вверх на 2. Координаты новых точек $(x', y')$ будут равны $(x - \frac{\pi}{6}, y + 2)$:
   • Точки на новой оси колебаний ($y=2$): $(0-\frac{\pi}{6}, 0+2) \rightarrow (-\frac{\pi}{6}, 2)$; $(\pi-\frac{\pi}{6}, 0+2) \rightarrow (\frac{5\pi}{6}, 2)$; $(2\pi-\frac{\pi}{6}, 0+2) \rightarrow (\frac{11\pi}{6}, 2)$, или $(1\frac{5}{6}\pi, 2)$.
   • Точка максимума: $(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}, 1+2) \rightarrow (\frac{3\pi-\pi}{6}, 3) \rightarrow (\frac{2\pi}{6}, 3) \rightarrow (\frac{\pi}{3}, 3)$.
   • Точка минимума: $(\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{6}, -1+2) \rightarrow (\frac{9\pi-\pi}{6}, 1) \rightarrow (\frac{8\pi}{6}, 1) \rightarrow (\frac{4\pi}{3}, 1)$, или $(1\frac{1}{3}\pi, 1)$.
3. Соединяем полученные точки плавной синусоидальной кривой. Новая ось колебаний - прямая $y=2$. Область значений функции: $[1, 3]$.

Ответ: График функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{6}) + 2$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем двух параллельных переносов: на $\frac{\pi}{6}$ влево вдоль оси Ох и на 2 единицы вверх вдоль оси Оy.