Номер 1.216, страница 72 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.216. Сравните с нулем значение выражения:

а) $\sin\left(-\frac{\pi}{8}\right)$; б) $\sin\frac{7\pi}{6}$; в) $\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right)$; г) $\sin\frac{11\pi}{5}$.

Для сравнения значения тригонометрического выражения с нулем необходимо определить знак функции синус для заданного угла. Знак синуса определяется четвертью, в которой находится угол на единичной окружности:

• I четверть (от $0$ до $\frac{\pi}{2}$): $sin(x) > 0$
• II четверть (от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$): $sin(x) > 0$
• III четверть (от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$): $sin(x) < 0$
• IV четверть (от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$): $sin(x) < 0$

Также полезно помнить, что синус является нечетной функцией, то есть $sin(-x) = -sin(x)$.

а) $sin(-\frac{\pi}{8})$
Угол $-\frac{\pi}{8}$ находится в IV четверти, так как $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{8} < 0$. В IV четверти значение синуса отрицательно.
Альтернативно, используя свойство нечетности: $sin(-\frac{\pi}{8}) = -sin(\frac{\pi}{8})$. Угол $\frac{\pi}{8}$ принадлежит I четверти, где синус положителен, следовательно, $-sin(\frac{\pi}{8})$ — отрицательное число.
Ответ: $sin(-\frac{\pi}{8}) < 0$.

б) $sin(\frac{7\pi}{6})$
Представим угол $\frac{7\pi}{6}$ в виде суммы: $\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$. Это означает, что угол находится в III четверти, поскольку он больше $\pi$ и меньше $\frac{3\pi}{2}$. В III четверти синус отрицателен.
Ответ: $sin(\frac{7\pi}{6}) < 0$.

в) $sin(-\frac{3\pi}{2})$
Воспользуемся свойством нечетности синуса: $sin(-\frac{3\pi}{2}) = -sin(\frac{3\pi}{2})$.
Известно, что $sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.
Следовательно, $sin(-\frac{3\pi}{2}) = -(-1) = 1$. Так как $1 > 0$, значение выражения положительно.
Ответ: $sin(-\frac{3\pi}{2}) > 0$.

г) $sin(\frac{11\pi}{5})$
Для определения четверти выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{11}{5}$: $\frac{11\pi}{5} = \mathbf{2}\frac{1}{5}\pi = 2\pi + \frac{\pi}{5}$.
Синус — периодическая функция с периодом $2\pi$, поэтому $sin(x + 2\pi) = sin(x)$.
$sin(\frac{11\pi}{5}) = sin(2\pi + \frac{\pi}{5}) = sin(\frac{\pi}{5})$.
Угол $\frac{\pi}{5}$ находится в I четверти ($0 < \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$), где синус положителен.
Ответ: $sin(\frac{11\pi}{5}) > 0$.