Номер 1.210, страница 72 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.210. Используя свойство периодичности функции $f(x) = \sin x$, докажите, что $\sin 75^{\circ} = \sin (-645^{\circ})$.

Для доказательства равенства $\sin 75^\circ = \sin(-645^\circ)$ используется свойство периодичности функции $f(x) = \sin x$.

Период функции синус равен $360^\circ$. Это означает, что значения функции повторяются через каждый полный оборот. Математически это свойство выражается формулой:

$\sin(\alpha) = \sin(\alpha + k \cdot 360^\circ)$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Наша задача — показать, что аргументы $75^\circ$ и $-645^\circ$ отличаются на целое число периодов. Для этого найдем разность этих углов:

$75^\circ - (-645^\circ) = 75^\circ + 645^\circ = 720^\circ$

Теперь разделим полученную разность на величину периода, чтобы узнать, сколько полных оборотов составляет эта разность:

$\frac{720^\circ}{360^\circ} = 2$

Поскольку результат равен 2 (целое число), это означает, что угол $75^\circ$ можно получить из угла $-645^\circ$ путем добавления двух полных периодов ($k=2$).

Применим свойство периодичности к выражению $\sin(-645^\circ)$:

$\sin(-645^\circ) = \sin(-645^\circ + 2 \cdot 360^\circ) = \sin(-645^\circ + 720^\circ) = \sin(75^\circ)$

Таким образом, мы доказали, что $\sin 75^\circ = \sin(-645^\circ)$, что и требовалось.