Номер 1.204, страница 71 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.204. С помощью графика функции $y = \sin x$ определите, верно ли, что:

а) при значении аргумента, равном $\frac{\pi}{2}$, значение функции равно 1;

б) числа $-2\pi$; $\pi$ являются нулями функции;

в) $\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$.

а) Чтобы проверить, верно ли утверждение, необходимо определить значение функции $y = \sin x$ при значении аргумента $x = \frac{\pi}{2}$. Рассматривая график функции $y = \sin x$ (синусоиду), мы видим, что функция достигает своего максимального значения, равного 1, в точке, где абсцисса $x = \frac{\pi}{2}$. Это одна из ключевых точек синусоиды. Таким образом, равенство $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ является верным. Утверждение верно.
Ответ: Да.

б) Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых функция $y = \sin x$ равна нулю. На графике это точки пересечения с осью абсцисс (осью Ox). График функции $y = \sin x$ пересекает ось Ox в точках вида $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число.
Проверим заданные значения:
1) Для $x = -2\pi$: мы можем взять $k = -2$. Так как -2 — целое число, то $x = -2\pi$ является нулем функции. На графике в этой точке синусоида пересекает ось Ox. $\sin(-2\pi) = 0$.
2) Для $x = \pi$: мы можем взять $k = 1$. Так как 1 — целое число, то $x = \pi$ также является нулем функции. В этой точке график также пересекает ось Ox. $\sin(\pi) = 0$.
Следовательно, оба числа являются нулями функции, и утверждение верно.
Ответ: Да.

в) Чтобы проверить утверждение $\sin(-\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, воспользуемся свойствами функции $y = \sin x$. Эта функция является нечетной, что означает $\sin(-x) = -\sin(x)$. Графически это выражается в симметрии графика относительно начала координат.
Используя это свойство, получаем: $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6})$.
Известно (и это можно увидеть на графике), что значение синуса для угла $\frac{\pi}{6}$ (или 30°) равно $\frac{1}{2}$.
Тогда $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.
Утверждение гласит, что $\sin(-\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Поскольку $-\frac{1}{2} \neq \frac{1}{2}$, утверждение неверно.
Ответ: Нет.