Номер 1.205, страница 71 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.205. Найдите несколько значений аргумента, при которых функция $y = \sin x$ принимает значение, равное:

а) 1;

б) $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых функция $y = \sin x$ принимает заданные значения, нужно решить соответствующие тригонометрические уравнения. Функция синуса является периодической с основным периодом $2\pi$, поэтому каждое такое уравнение имеет бесконечное множество решений. В задаче требуется найти лишь несколько из них.

а) Найдем значения $x$, при которых выполняется равенство: $$\sin x = 1$$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Значение синуса равно 1 в точках, соответствующих верхнему положению на единичной окружности. Основное такое значение — это $x = \frac{\pi}{2}$.

Так как функция синуса периодична с периодом $2\pi$, все решения уравнения можно описать общей формулой: $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$$

Придавая $n$ различные целые значения, найдем несколько конкретных значений аргумента $x$:

• Если $n = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$.
• Если $n = 1$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 1 = \frac{\pi}{2} + \frac{4\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}$.
• Если $n = -1$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot (-1) = \frac{\pi}{2} - 2\pi = \frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2}$.

Представим полученные неправильные дроби в виде смешанных чисел, выделив целую часть:

• $\frac{5\pi}{2} = 2\frac{1}{2}\pi$
• $-\frac{3\pi}{2} = -1\frac{1}{2}\pi$

Ответ: например, $x = \frac{\pi}{2}$; $x = 2\frac{1}{2}\pi$; $x = -1\frac{1}{2}\pi$.

б) Найдем значения $x$, при которых выполняется равенство: $$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение уравнения вида $\sin x = a$ (где $|a| \le 1$) можно записать формулой $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для нашего случая $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$. Тогда общая формула для решений: $$x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$$

Для нахождения конкретных значений удобнее представить это решение в виде двух серий:

1. $x_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$
2. $x_2 = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

Придавая $n$ различные целые значения, найдем несколько конкретных значений аргумента $x$:

• Если $n = 0$, то $x = \frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{2\pi}{3}$.
• Если $n = 1$, то $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}$ и $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{2\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}$.
• Если $n = -1$, то $x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3}$.

Выделим целую часть в полученных неправильных дробях:

• $\frac{7\pi}{3} = 2\frac{1}{3}\pi$
• $\frac{8\pi}{3} = 2\frac{2}{3}\pi$
• $-\frac{5\pi}{3} = -1\frac{2}{3}\pi$

Ответ: например, $x = \frac{\pi}{3}$; $x = \frac{2\pi}{3}$; $x = 2\frac{1}{3}\pi$; $x = -1\frac{2}{3}\pi$.