Номер 1.199, страница 71 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.199. Не выполняя построений, найдите наибольшее и наименьшее значения функции и значения аргумента, при которых они достигаются:

а) $y = \frac{1}{2}\sin x$;

б) $y = -5\sin x$;

в) $y = 0,2\cos x$;

г) $y = -3\cos x$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции вида $y = A \cdot \sin x$ или $y = A \cdot \cos x$, используется свойство ограниченности тригонометрических функций синуса и косинуса. Область значений для $y = \sin x$ и $y = \cos x$ есть отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого значения аргумента $x$ выполняются неравенства:

$-1 \le \sin x \le 1$

$-1 \le \cos x \le 1$

Умножая эти неравенства на коэффициент $A$, мы находим область значений для исходной функции. При этом, если $A>0$, знаки неравенства сохраняются, а если $A<0$, знаки меняются на противоположные.

а) $y = \frac{1}{2}\sin x$

Так как $-1 \le \sin x \le 1$ и коэффициент $\frac{1}{2} > 0$, то умножив двойное неравенство на $\frac{1}{2}$, получим:

$-1 \cdot \frac{1}{2} \le \frac{1}{2}\sin x \le 1 \cdot \frac{1}{2}$

$-\frac{1}{2} \le y \le \frac{1}{2}$

Следовательно, область значений функции – это отрезок $[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}] $.

• Наибольшее значение функции $y_{max} = \frac{1}{2}$ достигается при $\sin x = 1$, что соответствует значениям аргумента $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Наименьшее значение функции $y_{min} = -\frac{1}{2}$ достигается при $\sin x = -1$, что соответствует значениям аргумента $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: наибольшее значение $\frac{1}{2}$ при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; наименьшее значение $-\frac{1}{2}$ при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $y = -5\sin x$

Так как $-1 \le \sin x \le 1$ и коэффициент $-5 < 0$, то при умножении двойного неравенства на $-5$ знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1 \cdot (-5) \ge -5\sin x \ge 1 \cdot (-5)$

$5 \ge y \ge -5$

Следовательно, область значений функции – это отрезок $[-5; 5]$.

• Наибольшее значение функции $y_{max} = 5$ достигается при $\sin x = -1$, что соответствует значениям аргумента $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Наименьшее значение функции $y_{min} = -5$ достигается при $\sin x = 1$, что соответствует значениям аргумента $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: наибольшее значение $5$ при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; наименьшее значение $-5$ при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $y = 0.2\cos x$

Так как $-1 \le \cos x \le 1$ и коэффициент $0.2 > 0$, то умножив двойное неравенство на $0.2$, получим:

$-1 \cdot 0.2 \le 0.2\cos x \le 1 \cdot 0.2$

$-0.2 \le y \le 0.2$

Следовательно, область значений функции – это отрезок $[-0.2; 0.2]$.

• Наибольшее значение функции $y_{max} = 0.2$ достигается при $\cos x = 1$, что соответствует значениям аргумента $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Наименьшее значение функции $y_{min} = -0.2$ достигается при $\cos x = -1$, что соответствует значениям аргумента $x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: наибольшее значение $0.2$ при $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; наименьшее значение $-0.2$ при $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $y = -3\cos x$

Так как $-1 \le \cos x \le 1$ и коэффициент $-3 < 0$, то при умножении двойного неравенства на $-3$ знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1 \cdot (-3) \ge -3\cos x \ge 1 \cdot (-3)$

$3 \ge y \ge -3$

Следовательно, область значений функции – это отрезок $[-3; 3]$.

• Наибольшее значение функции $y_{max} = 3$ достигается при $\cos x = -1$, что соответствует значениям аргумента $x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Наименьшее значение функции $y_{min} = -3$ достигается при $\cos x = 1$, что соответствует значениям аргумента $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: наибольшее значение $3$ при $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; наименьшее значение $-3$ при $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.