Номер 1.193, страница 70 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.193. Определите знак выражения $ \cos(-3) \cdot \cos(-2) \cdot \cos(-1) $.

Для определения знака выражения $ \cos(-3) \cdot \cos(-2) \cdot \cos(-1) $ необходимо определить знак каждого множителя и затем знак их произведения.

Шаг 1. Упрощение выражения.

Функция косинус является четной, что означает $ \cos(-x) = \cos(x) $ для любого значения $x$. Применив это свойство к каждому множителю, мы можем переписать исходное выражение:

$ \cos(-3) \cdot \cos(-2) \cdot \cos(-1) = \cos(3) \cdot \cos(2) \cdot \cos(1) $.

Задача сводится к определению знака произведения $ \cos(3) \cdot \cos(2) \cdot \cos(1) $.

Шаг 2. Определение знаков множителей.

Поскольку в аргументах функции не указан символ градуса (°), углы заданы в радианах. Знак косинуса зависит от того, в какой координатной четверти находится угол. Для определения четвертей будем использовать приближенные значения числа $ \pi $:

• $ \pi \approx 3.14159 $
• $ \frac{\pi}{2} \approx 1.5708 $

Косинус положителен в I и IV четвертях и отрицателен во II и III четвертях.

• Знак $ \cos(1) $: Так как $ 0 < 1 < \frac{\pi}{2} \approx 1.5708 $, угол в 1 радиан находится в I четверти. В I четверти косинус положителен. Следовательно, $ \cos(1) > 0 $.
• Знак $ \cos(2) $: Так как $ \frac{\pi}{2} \approx 1.5708 < 2 < \pi \approx 3.14159 $, угол в 2 радиана находится во II четверти. Во II четверти косинус отрицателен. Следовательно, $ \cos(2) < 0 $.
• Знак $ \cos(3) $: Так как $ \frac{\pi}{2} \approx 1.5708 < 3 < \pi \approx 3.14159 $, угол в 3 радиана находится во II четверти. Во II четверти косинус отрицателен. Следовательно, $ \cos(3) < 0 $.

Шаг 3. Определение знака всего выражения.

Теперь найдем знак произведения, перемножив знаки множителей:

Знак($ \cos(3) \cdot \cos(2) \cdot \cos(1) $) = (знак $ \cos(3) $) $ \cdot $ (знак $ \cos(2) $) $ \cdot $ (знак $ \cos(1) $) = $ (-) \cdot (-) \cdot (+) $.

Произведение двух отрицательных чисел дает положительное число, а последующее умножение на положительное число не меняет знак. Таким образом, итоговый знак выражения — положительный.

Ответ: Знак выражения $ \cos(-3) \cdot \cos(-2) \cdot \cos(-1) $ — положительный.