Номер 1.187, страница 70 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.187. Используя свойства четности и периодичности функции $f(x) = \cos x$, найдите:

а) $f(-63\pi)$;

б) $f(-\frac{25\pi}{4})$;

в) $f(-\frac{7\pi}{3})$.

Для нахождения значений функции $f(x) = \cos x$ воспользуемся ее основными свойствами:

• Четность функции. Функция косинус является четной, что означает выполнение равенства $f(-x) = f(x)$ для любого $x$. Таким образом, $\cos(-x) = \cos(x)$.
• Периодичность функции. Функция косинус является периодической с наименьшим положительным периодом $T = 2\pi$. Это означает, что для любого целого числа $k$ выполняется равенство $f(x + 2\pi k) = f(x)$, то есть $\cos(x + 2\pi k) = \cos(x)$.

а) f(-63π)

1. Используем свойство четности функции косинус:

$f(-63\pi) = \cos(-63\pi) = \cos(63\pi)$.

2. Используем свойство периодичности. Представим $63\pi$ в виде суммы, содержащей целое число периодов $2\pi$.

$63\pi = \pi + 62\pi = \pi + 31 \cdot 2\pi$.

Отбрасывая $31$ полный период, получаем:

$\cos(63\pi) = \cos(\pi + 31 \cdot 2\pi) = \cos(\pi) = -1$.

Ответ: -1

б) f(-25π/4)

1. Используем свойство четности:

$f(-\frac{25\pi}{4}) = \cos(-\frac{25\pi}{4}) = \cos(\frac{25\pi}{4})$.

2. Используем свойство периодичности. Для этого выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{25}{4}$, чтобы определить количество полных периодов $2\pi$ в аргументе.

$\frac{25}{4} = \mathbf{6}\frac{1}{4}$.

Следовательно, аргумент можно представить в виде:

$\frac{25\pi}{4} = (6 + \frac{1}{4})\pi = 6\pi + \frac{\pi}{4} = 3 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{4}$.

Отбрасывая $3$ полных периода, получаем:

$\cos(\frac{25\pi}{4}) = \cos(3 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

в) f(-7π/3)

1. Используем свойство четности:

$f(-\frac{7\pi}{3}) = \cos(-\frac{7\pi}{3}) = \cos(\frac{7\pi}{3})$.

2. Используем свойство периодичности. Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{7}{3}$.

$\frac{7}{3} = \mathbf{2}\frac{1}{3}$.

Следовательно, аргумент можно представить в виде:

$\frac{7\pi}{3} = (2 + \frac{1}{3})\pi = 2\pi + \frac{\pi}{3}$.

Отбрасывая один полный период $2\pi$, получаем:

$\cos(\frac{7\pi}{3}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$