Номер 1.194, страница 70 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.194. Используя свойства функции $f(x) = \cos x$, докажите, что:

а) $\cos \frac{\pi}{8} > \cos \frac{7\pi}{8}$;

б) $\cos \left(-\frac{5\pi}{7}\right) < \cos \left(-\frac{2\pi}{7}\right)$.

a) Для доказательства неравенства $ \cos\frac{\pi}{8} > \cos\frac{7\pi}{8} $ воспользуемся свойством убывания функции $ f(x) = \cos x $ на промежутке $ [0; \pi] $.

Сначала сравним аргументы функции: $ \frac{\pi}{8} $ и $ \frac{7\pi}{8} $.

Так как $ 1 < 7 $, очевидно, что $ \frac{\pi}{8} < \frac{7\pi}{8} $.

Оба угла, $ \frac{\pi}{8} $ и $ \frac{7\pi}{8} $, принадлежат промежутку $ [0; \pi] $, поскольку $ 0 < \frac{\pi}{8} < \pi $ и $ 0 < \frac{7\pi}{8} < \pi $.

На промежутке $ [0; \pi] $ функция косинуса является монотонно убывающей. Это означает, что для любых двух значений $ x_1 $ и $ x_2 $ из этого промежутка, если $ x_1 < x_2 $, то $ \cos x_1 > \cos x_2 $.

Поскольку $ \frac{\pi}{8} < \frac{7\pi}{8} $, то, согласно свойству убывания функции, знаки неравенства меняются на противоположные: $ \cos\frac{\pi}{8} > \cos\frac{7\pi}{8} $, что и требовалось доказать.

Ответ: неравенство $ \cos\frac{\pi}{8} > \cos\frac{7\pi}{8} $ доказано.

б) Для доказательства неравенства $ \cos(-\frac{5\pi}{7}) < \cos(-\frac{2\pi}{7}) $ воспользуемся свойством возрастания функции $ f(x) = \cos x $ на промежутке $ [-\pi; 0] $.

Сначала сравним аргументы функции: $ -\frac{5\pi}{7} $ и $ -\frac{2\pi}{7} $.

Так как $ 5 > 2 $, то $ \frac{5\pi}{7} > \frac{2\pi}{7} $. При умножении обеих частей неравенства на $ -1 $, знак неравенства меняется на противоположный: $ -\frac{5\pi}{7} < -\frac{2\pi}{7} $.

Оба угла, $ -\frac{5\pi}{7} $ и $ -\frac{2\pi}{7} $, принадлежат промежутку $ [-\pi; 0] $, поскольку $ -\pi < -\frac{5\pi}{7} < 0 $ и $ -\pi < -\frac{2\pi}{7} < 0 $.

На промежутке $ [-\pi; 0] $ функция косинуса является монотонно возрастающей. Это означает, что для любых двух значений $ x_1 $ и $ x_2 $ из этого промежутка, если $ x_1 < x_2 $, то $ \cos x_1 < \cos x_2 $.

Поскольку $ -\frac{5\pi}{7} < -\frac{2\pi}{7} $, то, согласно свойству возрастания функции, знаки неравенства сохраняются: $ \cos(-\frac{5\pi}{7}) < \cos(-\frac{2\pi}{7}) $, что и требовалось доказать.

Ответ: неравенство $ \cos(-\frac{5\pi}{7}) < \cos(-\frac{2\pi}{7}) $ доказано.