Номер 1.200, страница 71 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.200. Постройте график функции $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right)$. Пользуясь графиком, определите:

а) нули функции;

б) промежутки убывания и возрастания функции;

в) наибольшее и наименьшее значения функции и значения аргумента, при которых они достигаются;

г) промежутки знакопостоянства функции.

Для построения графика функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \sin(x)$.

График функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$ получается из графика функции $y = \sin(x)$ путем его сдвига (параллельного переноса) вдоль оси абсцисс (оси Ox) на $\frac{\pi}{3}$ вправо.

Основные точки для построения:

• Нули (точки пересечения с осью Ox): Изначально у $y = \sin(x)$ нули в точках $x=k\pi$. Сдвигаем их на $\frac{\pi}{3}$ вправо, получаем $x = \frac{\pi}{3} + k\pi$. Например, точки $(\frac{\pi}{3}, 0)$, $(\frac{4\pi}{3}, 0)$, $(-\frac{2\pi}{3}, 0)$.
• Максимумы: Изначально у $y = \sin(x)$ максимумы (равные 1) в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$. Сдвигаем их, получаем $x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$. Например, точка $(\frac{5\pi}{6}, 1)$.
• Минимумы: Изначально у $y = \sin(x)$ минимумы (равные -1) в точках $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$. Сдвигаем их, получаем $x = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi$. Например, точка $(\frac{11\pi}{6}, -1)$.

Соединив эти точки плавной кривой (синусоидой), получим искомый график.

Пользуясь графиком и аналитическими расчетами, определим свойства функции.

а) нули функции;
Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Для этого решим уравнение: $ \sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0 $
$ x - \frac{\pi}{3} = k\pi, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{3} + k\pi, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

б) промежутки убывания и возрастания функции;
Функция $y = \sin(t)$ возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi]$ и убывает на $[ \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi]$. Пусть $t = x - \frac{\pi}{3}$.
Возрастание:
$ -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \le x - \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2} + 2k\pi $
$ -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2k\pi \le x \le \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2k\pi $
$ -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \le x \le \frac{5\pi}{6} + 2k\pi $
Убывание:
$ \frac{\pi}{2} + 2k\pi \le x - \frac{\pi}{3} \le \frac{3\pi}{2} + 2k\pi $
$ \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2k\pi \le x \le \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2k\pi $
$ \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \le x \le \frac{11\pi}{6} + 2k\pi $
Ответ: функция возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{6} + 2k\pi; \frac{5\pi}{6} + 2k\pi]$ и убывает на промежутках $[\frac{5\pi}{6} + 2k\pi; \mathbf{1}\frac{5}{6}\pi + 2k\pi]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) наибольшее и наименьшее значения функции и значения аргумента, при которых они достигаются;
Область значений функции синуса - отрезок $[-1, 1]$.
Наибольшее значение:
$y_{max} = 1$. Достигается, когда $\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 1$.
$ x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi $
$ x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi $
Наименьшее значение:
$y_{min} = -1$. Достигается, когда $\sin(x - \frac{\pi}{3}) = -1$.
$ x - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi $
$ x = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi $
Ответ: наибольшее значение функции равно 1 и достигается при $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$; наименьшее значение функции равно -1 и достигается при $x = \mathbf{1}\frac{5}{6}\pi + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) промежутки знакопостоянства функции.
Функция положительна ($y>0$):
$ \sin(x - \frac{\pi}{3}) > 0 $
$ 2k\pi < x - \frac{\pi}{3} < \pi + 2k\pi $
$ \frac{\pi}{3} + 2k\pi < x < \pi + \frac{\pi}{3} + 2k\pi $
$ \frac{\pi}{3} + 2k\pi < x < \frac{4\pi}{3} + 2k\pi $
Функция отрицательна ($y<0$):
$ \sin(x - \frac{\pi}{3}) < 0 $
$ \pi + 2k\pi < x - \frac{\pi}{3} < 2\pi + 2k\pi $
$ \pi + \frac{\pi}{3} + 2k\pi < x < 2\pi + \frac{\pi}{3} + 2k\pi $
$ \frac{4\pi}{3} + 2k\pi < x < \frac{7\pi}{3} + 2k\pi $
Ответ: функция положительна на интервалах $(\frac{\pi}{3} + 2k\pi; \mathbf{1}\frac{1}{3}\pi + 2k\pi)$ и отрицательна на интервалах $(\mathbf{1}\frac{1}{3}\pi + 2k\pi; \mathbf{2}\frac{1}{3}\pi + 2k\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.