Номер 1.207, страница 72 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.207. Найдите область определения и множество значений функции:

а) $f(x) = 4\sin 7x$;

б) $g(x) = \sin \frac{x}{5} - 3$;

в) $h(x) = -3\sin 2x + 7.$

а) Для функции $f(x) = 4\sin 7x$.
Область определения D(f):
Функция синус определена для любого действительного аргумента. Выражение $7x$ в качестве аргумента синуса определено для всех действительных чисел $x$. Следовательно, область определения функции $f(x)$ — это множество всех действительных чисел.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$ или $D(f) = \mathbb{R}$.
Множество значений E(f):
Известно, что для любого аргумента $t$ значение функции синус находится в пределах от -1 до 1, то есть выполняется неравенство: $$-1 \le \sin 7x \le 1$$ Умножим все части этого двойного неравенства на 4. Так как 4 > 0, знаки неравенства сохраняются: $$4 \cdot (-1) \le 4 \cdot \sin 7x \le 4 \cdot 1$$ $$-4 \le 4\sin 7x \le 4$$ Поскольку $f(x) = 4\sin 7x$, получаем: $$-4 \le f(x) \le 4$$ Следовательно, множество значений функции — это отрезок $[-4; 4]$.
$E(f) = [-4; 4]$.
Ответ: область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $[-4; 4]$.

б) Для функции $g(x) = \sin\frac{x}{5} - 3$.
Область определения D(g):
Аргумент функции синус, $\frac{x}{5}$, определен для всех действительных чисел $x$. Следовательно, область определения функции $g(x)$ — это множество всех действительных чисел.
$D(g) = (-\infty; +\infty)$ или $D(g) = \mathbb{R}$.
Множество значений E(g):
Значения функции $\sin\frac{x}{5}$ лежат в отрезке $[-1; 1]$: $$-1 \le \sin\frac{x}{5} \le 1$$ Вычтем 3 из всех частей двойного неравенства: $$-1 - 3 \le \sin\frac{x}{5} - 3 \le 1 - 3$$ $$-4 \le \sin\frac{x}{5} - 3 \le -2$$ Поскольку $g(x) = \sin\frac{x}{5} - 3$, получаем: $$-4 \le g(x) \le -2$$ Следовательно, множество значений функции — это отрезок $[-4; -2]$.
$E(g) = [-4; -2]$.
Ответ: область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $[-4; -2]$.

в) Для функции $h(x) = -3\sin 2x + 7$.
Область определения D(h):
Аргумент функции синус, $2x$, определен для всех действительных чисел $x$. Следовательно, область определения функции $h(x)$ — это множество всех действительных чисел.
$D(h) = (-\infty; +\infty)$ или $D(h) = \mathbb{R}$.
Множество значений E(h):
Значения функции $\sin 2x$ лежат в отрезке $[-1; 1]$: $$-1 \le \sin 2x \le 1$$ Умножим все части двойного неравенства на -3. Так как множитель (-3) отрицательный, знаки неравенства меняются на противоположные: $$(-3) \cdot (-1) \ge -3\sin 2x \ge (-3) \cdot 1$$ $$3 \ge -3\sin 2x \ge -3$$ Что эквивалентно записи в привычном порядке (от меньшего к большему): $$-3 \le -3\sin 2x \le 3$$ Теперь прибавим 7 ко всем частям неравенства: $$-3 + 7 \le -3\sin 2x + 7 \le 3 + 7$$ $$4 \le -3\sin 2x + 7 \le 10$$ Поскольку $h(x) = -3\sin 2x + 7$, получаем: $$4 \le h(x) \le 10$$ Следовательно, множество значений функции — это отрезок $[4; 10]$.
$E(h) = [4; 10]$.
Ответ: область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $[4; 10]$.