Номер 1.208, страница 72 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.208. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

а) $y = 3\sin 5x$;

б) $y = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$;

в) $y = -4\sin 3x + 5.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений данных тригонометрических функций воспользуемся свойством ограниченности функции синус. Область значений функции $y = \sin(x)$ — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого аргумента $\alpha$ справедливо двойное неравенство: $$-1 \le \sin(\alpha) \le 1$$

а) $y = 3\sin 5x;$

Поскольку область значений $\sin(5x)$ это отрезок $[-1; 1]$, имеем неравенство: $$-1 \le \sin(5x) \le 1$$ Умножим все части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства сохраняются: $$3 \cdot (-1) \le 3 \cdot \sin(5x) \le 3 \cdot 1$$ $$-3 \le 3\sin(5x) \le 3$$ Таким образом, область значений функции $y$ — это отрезок $[-3; 3]$.
Ответ: Наибольшее значение: 3, наименьшее значение: -3.

б) $y = 2\sin(x + \frac{\pi}{3});$

Область значений $\sin(x + \frac{\pi}{3})$ также является отрезком $[-1; 1]$, так как сдвиг по фазе не влияет на амплитуду: $$-1 \le \sin(x + \frac{\pi}{3}) \le 1$$ Умножим все части неравенства на 2: $$2 \cdot (-1) \le 2 \cdot \sin(x + \frac{\pi}{3}) \le 2 \cdot 1$$ $$-2 \le y \le 2$$ Область значений функции $y$ — это отрезок $[-2; 2]$.
Ответ: Наибольшее значение: 2, наименьшее значение: -2.

в) $y = -4\sin 3x + 5.$

Начнем с области значений $\sin(3x)$: $$-1 \le \sin(3x) \le 1$$ Умножим неравенство на -4. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $$(-4) \cdot (-1) \ge -4\sin(3x) \ge (-4) \cdot 1$$ $$4 \ge -4\sin(3x) \ge -4$$ Запишем это неравенство в привычном порядке (от меньшего к большему): $$-4 \le -4\sin(3x) \le 4$$ Теперь прибавим 5 ко всем частям неравенства, чтобы получить исходную функцию: $$-4 + 5 \le -4\sin(3x) + 5 \le 4 + 5$$ $$1 \le y \le 9$$ Область значений функции $y$ — это отрезок $[1; 9]$.
Ответ: Наибольшее значение: 9, наименьшее значение: 1.