Номер 1.201, страница 71 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.201. Постройте график функции $y = \cos x + 2,5$. Пользуясь графиком, определите:
а) промежутки убывания и возрастания функции;
б) наибольшее и наименьшее значение функции и значения аргумента, при которых они достигаются;
в) нули функции;
г) множество значений функции.

Для построения графика функции $y = \cos x + 2,5$ необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) графика функции $y = \cos x$ вдоль оси ординат (оси OY) на $2,5$ единицы вверх.

Построение графика:

1. Сначала строим известный график функции $y = \cos x$ (косинусоиду). Это периодическая функция с периодом $2\pi$, которая имеет максимумы, равные 1, в точках $x=2\pi k$ и минимумы, равные -1, в точках $x=\pi+2\pi k$ (где $k$ – любое целое число).
2. Затем сдвигаем весь график на $2,5$ единицы вверх. Ось симметрии графика, которая для $y=\cos x$ была осью абсцисс ($y=0$), перемещается на прямую $y=2,5$. Максимальные значения функции становятся $1+2,5=3,5$, а минимальные значения становятся $-1+2,5=1,5$.

На основе свойств и графика функции $y = \cos x + 2,5$ определим требуемые характеристики.

Вертикальный сдвиг графика не влияет на промежутки монотонности. Они остаются такими же, как у функции $y = \cos x$. Функция убывает на интервалах, где ее график идет вниз (от точек максимума к точкам минимума), и возрастает на интервалах, где график идет вверх (от точек минимума к точкам максимума).
Ответ: функция убывает на промежутках вида $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$ и возрастает на промежутках вида $[\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Наибольшее значение функции $y = \cos x + 2,5$ достигается, когда слагаемое $\cos x$ принимает свое наибольшее значение, равное 1.
$y_{max} = 1 + 2,5 = 3,5 = 3\frac{1}{2}$. Это происходит при $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Наименьшее значение функции достигается, когда слагаемое $\cos x$ принимает свое наименьшее значение, равное -1.
$y_{min} = -1 + 2,5 = 1,5 = 1\frac{1}{2}$. Это происходит при $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: наибольшее значение функции равно $3\frac{1}{2}$ и достигается при $x=2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; наименьшее значение функции равно $1\frac{1}{2}$ и достигается при $x=\pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Для их нахождения необходимо решить уравнение:
$\cos x + 2,5 = 0$
$\cos x = -2,5$
Поскольку множество значений функции $\cos x$ есть отрезок $[-1, 1]$, а число $-2,5$ не входит в этот отрезок, данное уравнение не имеет решений. Графически это означает, что функция не пересекает ось абсцисс OX, так как её наименьшее значение равно $1,5$, то есть график целиком лежит выше оси OX.
Ответ: нулей у функции нет.

Множество значений функции (или область значений) определяется её наименьшим и наибольшим значениями. Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то для функции $y = \cos x + 2,5$ справедливо двойное неравенство:
$-1 + 2,5 \le \cos x + 2,5 \le 1 + 2,5$
$1,5 \le y \le 3,5$
Таким образом, множество значений функции – это все числа от $1,5$ до $3,5$ включительно.
Ответ: $E(y) = [1\frac{1}{2}; 3\frac{1}{2}]$.