Номер 1.202, страница 71 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.202*. Найдите наименьшее и наибольшее целые значения функции:

a) $y=1,2\cos\frac{x}{5}+3;$

б) $y=-3,28\sin(9x+\frac{\pi}{12})-1.$

Чтобы найти наименьшее и наибольшее целые значения функции, сначала определим область значений каждой функции (т.е. промежуток, в котором лежат все возможные значения $y$), а затем выберем из этого промежутка наименьшее и наибольшее целые числа.

а) Рассмотрим функцию $y = 1,2\cos\frac{x}{5} + 3$.

Область значений функции косинус находится в промежутке от -1 до 1. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$-1 \le \cos\frac{x}{5} \le 1$

Теперь выполним преобразования, чтобы получить выражение для $y$. Сначала умножим все части неравенства на 1,2:

$1,2 \cdot (-1) \le 1,2\cos\frac{x}{5} \le 1,2 \cdot 1$

$-1,2 \le 1,2\cos\frac{x}{5} \le 1,2$

Затем прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-1,2 + 3 \le 1,2\cos\frac{x}{5} + 3 \le 1,2 + 3$

$1,8 \le y \le 4,2$

Итак, область значений функции $y$ — это промежуток $[1,8; 4,2]$.

Нам нужно найти целые числа, которые находятся в этом промежутке. Это числа 2, 3 и 4.

Среди этих чисел наименьшим является 2, а наибольшим — 4.

Ответ: наименьшее целое значение равно 2, наибольшее целое значение равно 4.

б) Рассмотрим функцию $y = -3,28\sin(9x + \frac{\pi}{12}) - 1$.

Область значений функции синус, так же как и у косинуса, находится в промежутке от -1 до 1:

$-1 \le \sin(9x + \frac{\pi}{12}) \le 1$

Выполним преобразования. Умножим все части неравенства на -3,28. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-3,28 \cdot 1 \le -3,28\sin(9x + \frac{\pi}{12}) \le -3,28 \cdot (-1)$

$-3,28 \le -3,28\sin(9x + \frac{\pi}{12}) \le 3,28$

Теперь вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-3,28 - 1 \le -3,28\sin(9x + \frac{\pi}{12}) - 1 \le 3,28 - 1$

$-4,28 \le y \le 2,28$

Область значений функции $y$ — это промежуток $[-4,28; 2,28]$.

Целые числа, которые находятся в этом промежутке: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.

Среди этих чисел наименьшим является -4, а наибольшим — 2.

Ответ: наименьшее целое значение равно -4, наибольшее целое значение равно 2.